ГДЗ до вправи 32.39 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin 3x + 1} = 0$

$\cos x (1 - 4 \sin^2 x) = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ або $\sin^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$.

ОДЗ: $\sin 3x \neq -1 \Rightarrow 3x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \Rightarrow x \neq -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi m}{3}$.

Вилучаємо точки: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (де $\sin 3x = -1$) та частину точок $\pm \frac{\pi}{6}$. Залишаються:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Відповідь: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin x + \cos 4x - 2}{2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2}} = 0$

Чисельник: $\sin x + \cos 4x = 2 \Rightarrow \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos 4x = 1 \end{cases} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

ОДЗ: $2 \cos \frac{x}{2} \neq \sqrt{2} \Rightarrow \cos \frac{x}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x \neq \pm \frac{\pi}{2} + 4\pi m$.

При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: якщо $n = 2k$, то $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi k$ (не підходить за ОДЗ). Якщо $n = 2k+1$, то $x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi k$.

Відповідь: $\frac{5\pi}{2} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому рівнянні чисельник розкладається на множники. Отримані корені перевіряються через ОДЗ знаменника $\sin 3x \neq -1$, що відсіває точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ та частину значень серії $\pm \frac{\pi}{6}$.
• У другому рівнянні використано метод оцінки: оскільки синус та косинус не можуть перевищувати 1, їх сума дорівнює 2 лише тоді, коли обидві функції одночасно дорівнюють 1. Після знаходження спільних коренів чисельника виконується фільтрація за точками розриву знаменника.