ГДЗ до вправи 32.41 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{\sin x} \cos x = 0 \Rightarrow \text{ОДЗ: } \sin x \ge 0 \Rightarrow x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n]$

— $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$; — $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. З урахуванням ОДЗ: $x = \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Відповідь: $\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sqrt{\text{ctg } x - \sqrt{3}} \cos x = 0 \Rightarrow \text{ОДЗ: } \text{ctg } x \ge \sqrt{3} \Rightarrow x \in (\pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n]$

— $\text{ctg } x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n$; — $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (не входить в ОДЗ).

Відповідь: $\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $\sqrt{\cos x} (8 \sin x + 5 - 2 \cos 2x) = 0 \Rightarrow \text{ОДЗ: } \cos x \ge 0$

— $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

— $8 \sin x + 5 - 2(1 - 2\sin^2 x) = 0 \Rightarrow 4 \sin^2 x + 8 \sin x + 3 = 0 \Rightarrow \sin x = -0,5$ ($\sin x = -1,5$ н/в).

$\sin x = -0,5$ при $\cos x \ge 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Відповідь: $\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому та другому пунктах ірраціональність значно звужує множину розв’язків. Ми виключаємо ті значення кута $x$, при яких вираз під коренем стає від’ємним.
• У третьому пункті після аналізу кореня розв’язується квадратне рівняння відносно синуса. Важливо відібрати корені синуса лише в тих чвертях, де косинус невід’ємний (I та IV чверті).