ГДЗ до вправи 36.22 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 36.22
Використовуючи геометричний зміст похідної, доведіть, що функція $y = \sqrt{1 - x^2}$ не є диференційованою в точках $x_1 = -1$ і $x_2 = 1$.
Розв'язок вправи № 36.22
Коротке рішення
Графіком функції $y = \sqrt{1 - x^2}$ є верхнє півколо з центром у початку координат та радіусом $R = 1$.
У точках $x_1 = -1$ та $x_2 = 1$ до графіка можна провести лише вертикальні дотичні ($x = -1$ та $x = 1$).
Оскільки для вертикальної прямої кутовий коефіцієнт $k$ не визначений, то за геометричним змістом похідної ($f'(x_0) = k$) похідна в цих точках не існує.
Отже, функція не є диференційованою в точках $x_1 = -1$ і $x_2 = 1$.
Відповідь: Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка в цій точці. Теорія: Похідна та її застосування.
- Вираз $y = \sqrt{1 - x^2}$ після піднесення до квадрату та перенесення змінних набуває вигляду $x^2 + y^2 = 1$ (де $y \geqslant 0$), що є рівнянням півкола.
- Геометрично дотичні до кола в кінцевих точках діаметра на осі $x$ (точки $-1$ та $1$) є вертикальними прямими.
- Оскільки вертикальна пряма утворює з віссю абсцис кут $90^\circ$, а $\text{tg } 90^\circ$ не існує, значення похідної в цих точках не може бути визначене.
- Це підтверджує відсутність диференційованості функції на межах її області визначення $[-1; 1]$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.