ГДЗ до вправи 36.26 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 36.26
Знайдіть найменший додатний корінь рівняння $\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$.
Розв'язок вправи № 36.26
Коротке рішення
$\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$
$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ або $x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
1) $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x_{min} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ (при $k=1)$
2) $x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x_{min} = \frac{\pi}{2}$ (при $k=0$)
Порівнюємо: $\frac{\pi}{2} < \frac{11\pi}{6}$.
Відповідь: $\frac{\pi}{2}$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Використовуйте загальну формулу для коренів рівняння $\sin t = a$, де $t$ — вираз в дужках. Після знаходження загальних розв'язків підставте цілі значення $k$, щоб знайти найменше додатне $x$. Теорія: Тригонометричні рівняння.
- Спочатку записуємо аргумент синуса як результат арксинуса: $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
- Отримуємо дві серії розв'язків для врахування періодичності.
- Методом підбору цілих значень $k$ встановлюємо найменше значення $x$, яке більше нуля.
- Оскільки $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, а $\frac{11\pi}{6} \approx 5,75$, найменшим додатним коренем є саме $\frac{\pi}{2}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.