ГДЗ до вправи 36.23 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 36.23
Доведіть, користуючись означенням, що функція $f(x) = x|x|$ є диференційовною в точці $x_0 = 0$. Проілюструйте отриманий результат графічно.
Розв'язок вправи № 36.23
Коротке рішення
1) $f(0) = 0 \cdot |0| = 0$
2) $\Delta f = f(0 + \Delta x) - f(0) = \Delta x \cdot |\Delta x| - 0 = \Delta x \cdot |\Delta x|$
3) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x \cdot |\Delta x|}{\Delta x} = |\Delta x|$
4) $f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$
Відповідь: Функція диференційовна в точці $x_0 = 0, f'(0) = 0$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Функція називається диференційовною в точці, якщо в цій точці існує скінченна границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Теорія: Похідна та її застосування.
- Для доведення обчислюємо значення функції в точці 0.
- Знаходимо приріст функції $\Delta f$ та ділимо його на приріст аргументу $\Delta x$.
- Оскільки границя модуля приросту аргументу при $\Delta x \to 0$ дорівнює нулю, то похідна існує.
- Графічно функція $y = x|x|$ складається з двох частин парабол: $y = x^2$ для $x \geqslant 0$ та $y = -x^2$ для $x < 0$. У точці $(0; 0)$ ці частини плавно з'єднуються, утворюючи горизонтальну дотичну ($k=0$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.