До змісту

ГДЗ до вправи 36.23 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 36.23

Доведіть, користуючись означенням, що функція f(x)=x∣x∣f(x) = x|x| є диференційовною в точці x0=0x_0 = 0. Проілюструйте отриманий результат графічно.

Розв'язок вправи № 36.23

Коротке рішення

1) f(0)=0⋅∣0∣=0f(0) = 0 \cdot |0| = 0

2) Δf=f(0+Δx)−f(0)=Δx⋅∣Δx∣−0=Δx⋅∣Δx∣\Delta f = f(0 + \Delta x) - f(0) = \Delta x \cdot |\Delta x| - 0 = \Delta x \cdot |\Delta x|

3) ΔfΔx=Δx⋅∣Δx∣Δx=∣Δx∣\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x \cdot |\Delta x|}{\Delta x} = |\Delta x|

4) f′(0)=lim⁡Δx→0ΔfΔx=lim⁡Δx→0∣Δx∣=0f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0

Відповідь: Функція диференційовна в точці x0=0,f′(0)=0x_0 = 0, f'(0) = 0.

Графік функції f(x) = x|x|

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Функція називається диференційовною в точці, якщо в цій точці існує скінченна границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Теорія: Похідна та її застосування.

  • Для доведення обчислюємо значення функції в точці 0.
  • Знаходимо приріст функції Δf\Delta f та ділимо його на приріст аргументу Δx\Delta x.
  • Оскільки границя модуля приросту аргументу при Δx→0\Delta x \to 0 дорівнює нулю, то похідна існує.
  • Графічно функція y=x∣x∣y = x|x| складається з двох частин парабол: y=x2y = x^2 для x⩾0x \geqslant 0 та y=−x2y = -x^2 для x<0x < 0. У точці (0;0)(0; 0) ці частини плавно з'єднуються, утворюючи горизонтальну дотичну (k=0k=0).

Популярне у 10 класі