ГДЗ до вправи 37.25 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 37.25
Знайдіть у точках $x_1 = -2$ і $x_2 = 2$ похідну функції:
1) $f(x) = x^2 - 6 |x| + 5$;
2) $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$.
Розв'язок вправи № 37.25
Коротке рішення
1) $f(x) = x^2 - 6 |x| + 5$:
При $x_1 = -2 < 0$: $f(x) = x^2 + 6x + 5 \Rightarrow f'(x) = 2x + 6$.
$f'(-2) = 2(-2) + 6 = 2$.
При $x_2 = 2 > 0$: $f(x) = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow f'(x) = 2x - 6$.
$f'(2) = 2(2) - 6 = -2$.
Відповідь: $f'(-2) = 2, f'(2) = -2$.
2) $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$:
$x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$.
При $x_1 = -2$: $(-2-1)(-2-5) = 21 > 0 \Rightarrow f(x) = x^2 - 6x + 5$.
$f'(x) = 2x - 6 \Rightarrow f'(-2) = 2(-2) - 6 = -10$.
При $x_2 = 2$: $(2-1)(2-5) = -3 < 0 \Rightarrow f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
$f'(x) = -2x + 6 \Rightarrow f'(2) = -2(2) + 6 = 2$.
Відповідь: $f'(-2) = -10, f'(2) = 2$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Похідна функцій, що містять модуль, обчислюється після аналізу знака підмодульного виразу в конкретній точці. Теорія: Похідна та її застосування.
- У першому пункті ми враховуємо, що $|x| = x$ при $x > 0$ та $|x| = -x$ при $x < 0$.
- У другому пункті ми розкладаємо квадратний тричлен на множники, щоб швидко визначити його знак на інтервалах.
- Якщо вираз під модулем у точці від'ємний, ми розкриваємо модуль зі зміною всіх знаків на протилежні, що впливає на кінцеве значення похідної.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.