ГДЗ до вправи 38.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 38.3
Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в точці його перетину з віссю ординат:
1) $f(x) = x^2 - 3x - 3$;
2) $f(x) = \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)$.
Розв'язок вправи № 38.3
Коротке рішення
Перетин з віссю ординат означає, що абсциса точки дотику $x_0 = 0$.
1) $f(x) = x^2 - 3x - 3$:
$f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 3 = -3$
$f'(x) = 2x - 3 \Rightarrow f'(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$
$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \Rightarrow y = -3(x - 0) - 3 = -3x - 3$
Відповідь: $y = -3x - 3$.
2) $f(x) = \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)$:
$f(0) = \cos \left( 0 - \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$f'(x) = -\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{2}$
$f'(0) = -\frac{1}{2} \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0) + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$
Відповідь: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Точка перетину з віссю $Oy$ завжди має координати $(0; f(0))$. Для складання рівняння дотичної необхідно знайти значення функції та її похідної в цій точці. Теорія: Похідна та її застосування.
- Спочатку визначаємо абсцису точки дотику $x_0 = 0$, як того вимагає умова перетину з віссю ординат.
- Обчислюємо ординату точки дотику $y_0 = f(x_0)$.
- Знаходимо похідну функції $f'(x)$ за правилами диференціювання (для другого пункту — як похідну складеної функції).
- Обчислюємо кутовий коефіцієнт $k = f'(x_0)$ та підставляємо всі дані у загальне рівняння дотичної.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.