ГДЗ до вправи 41.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 41.4
Знайдіть найбільше і найменше значення функції $f$ на вказаному відрізку:
1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}, [0; 7]$;
2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}, [-2; 4]$;
3) $f(x) = (x - 1)^2(x + 5)^2, [-3; 2]$;
4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}, [-6; -1]$.
Розв'язок вправи № 41.4
Коротке рішення
1) $f'(x) = \frac{4 - x}{\sqrt{9 + 8x - x^2}}$. Критична точка $x = 4 \in [0; 7]$.
$f(0) = 3; f(4) = 5; f(7) = 4$.
Відповідь: $\max = 5, \min = 3$.
2) $f'(x) = \frac{4(1 - x)(1 + x)}{(x^2 + 1)^2}$. Критичні точки $\pm 1 \in [-2; 4]$.
$f(-2) = -1,6; f(-1) = -2; f(1) = 2; f(4) \approx 0,94$.
Відповідь: $\max = 2, \min = -2$.
3) $f'(x) = 4(x - 1)(x + 5)(x + 2)$. У $[-3; 2]$ входять точки $-2; 1$.
$f(-3) = 64; f(-2) = 81; f(1) = 0; f(2) = 49$.
Відповідь: $\max = 81, \min = 0$.
4) $f'(x) = \frac{9 - x^2}{x^2}$. У $[-6; -1]$ входить $x = -3$.
$f(-6) = 7,5; f(-3) = 6; f(-1) = 10$.
Відповідь: $\max = 10, \min = 6$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Найбільше та найменше значення функції на відрізку — це глобальні екстремуми. Похідна допомагає знайти "кандидатів" на ці значення всередині проміжку. Значення на межах відрізка обов'язково включаються у порівняння. Теорія: Дослідження функцій за допомогою похідної.
- У першому пункті підкореневий вираз є параболою з вершиною в точці $x=4$, що спрощує пошук максимуму.
- У другому пункті при знаходженні похідної частки знаменник завжди додатний, тому нулі похідної визначаються лише чисельником $1-x^2$.
- У третьому пункті критична точка $-5$ ігнорується, оскільки вона лежить лівіше заданого відрізка $[-3; 2]$.
- У четвертому пункті досліджуємо суму лінійної та дробово-раціональної функцій. Точка $-3$ є точкою локального мінімуму, а найбільше значення на проміжку досягається на правому кінці.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.