ГДЗ до вправи 41.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 41.6
Знайдіть найбільше і найменше значення функції $f$ на вказаному відрізку:
1) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x, [0; \pi]$;
2) $f(x) = 2 \cos \left(4x + \frac{\pi}{6}\right), \left[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}\right]$.
Розв'язок вправи № 41.6
Коротке рішення
1) $f(x) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x\right) = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.
$f'(x) = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. $f'(x) = 0 \Rightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$.
$f(0) = 1$; $f(\pi) = -1$; $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$.
Відповідь: $\max = 2, \min = -1$.
2) $f(x) = 2 \cos \left(4x + \frac{\pi}{6}\right)$. Область значень функції косинус — $[-2; 2]$.
Аргумент $t = 4x + \frac{\pi}{6}$ на відрізку $\left[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}\right]$ змінюється від $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{3\pi}{2}$.
На цьому проміжку косинус набуває свого максимуму $1$ (при $t = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{24}$) та мінімуму $-1$ (при $t = \pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24}$).
Отже, найбільше значення $2 \cdot 1 = 2$, найменше $2 \cdot (-1) = -2$.
Відповідь: $\max = 2, \min = -2$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Використання методу допоміжного кута або аналіз зміни аргументу дозволяє спростити тригонометричні вирази до вигляду $A \sin(kx + \phi)$ або $A \cos(kx + \phi)$. Це значно спрощує пошук екстремумів. Теорія: Перетворення тригонометричних виразів.
- У першому пункті застосовано формулу $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x + \phi)$. Це дозволяє одразу побачити амплітуду функції.
- У другому пункті замість обчислення похідної використано метод оцінки значень через проміжок зміни аргументу. Оскільки аргумент $4x + \frac{\pi}{6}$ проходить через точки $0$ та $\pi$, функція обов'язково досягне значень $1$ та $-1$.
- Значення на кінцях відрізка у другому пункті ($\sqrt{3}$ та $0$) не є екстремальними порівняно з піками всередині проміжку.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.