ГДЗ до вправи 42.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 42.7
Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:
1) $y = x^3 - 3x + 2$;
2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$.
Розв'язок вправи № 42.7
Коротке рішення
Дослідимо функції за допомогою другої похідної.
1) $y = x^3 - 3x + 2$.
$y' = 3x^2 - 3$; $y'' = 6x$.
$y'' = 0 \Rightarrow x = 0$. При $x < 0$ ($y'' < 0$) — опукла вгору; при $x > 0$ ($y'' > 0$) — опукла вниз.
Точка перегину: $x = 0; y = 2$.
Відповідь: $(-\infty; 0]$ — вгору, $[0; +\infty)$ — вниз, $(0; 2)$.
2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$.
$y' = 4x^3 - 24x^2 + 36x - 1$; $y'' = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x - 1)(x - 3)$.
$y'' = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3$.
На $(-\infty; 1]$ та $[3; +\infty)$ — опукла вниз ($y'' \ge 0$); на $[1; 3]$ — опукла вгору $(y'' \le 0).$
Точки перегину: $x = 1 (y = 11)$ та $x = 3 (y = 25)$.
Відповідь: $[1; 3]$ — вгору, $(-\infty; 1]$ та $[3; +\infty)$ — вниз, $(1; 11)$ і $(3; 25)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Напрям опуклості графіка функції визначається знаком її другої похідної: якщо $f''(x) \le 0$, графік опуклий вгору, якщо $f''(x) \ge 0$ — опуклий вниз. Точки, в яких знак другої похідної змінюється на протилежний, називаються точками перегину. Теорія: Дослідження функцій на опуклість та точки перегину.
- Знаходимо першу похідну функції як проміжний етап.
- Диференціюємо вдруге та прирівнюємо результат до нуля для пошуку критичних точок другого роду.
- Методом інтервалів визначаємо знаки другої похідної.
- Обчислюємо ординати точок перегину, підставляючи знайдені абсциси у вихідну формулу функції.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.