ГДЗ до вправи 42.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 42.3
Чому дорівнює значення другої похідної функції $y = 5 \sin x - 3 \cos 4x$ у точці:
1) $x = \frac{\pi}{6}$;
2) $x = -\frac{\pi}{2}$?
Розв'язок вправи № 42.3
Коротке рішення
1) Знайдемо першу похідну: $y' = (5 \sin x - 3 \cos 4x)' = 5 \cos x - 3 \cdot (-\sin 4x) \cdot 4 =$
$= 5 \cos x + 12 \sin 4x$.
2) Знайдемо другу похідну: $y'' = (5 \cos x + 12 \sin 4x)' = -5 \sin x + 12 \cdot \cos 4x \cdot 4 =$
$= -5 \sin x + 48 \cos 4x$.
3) Обчислимо значення у заданих точках:
• При $x = \frac{\pi}{6}$: $y''\left(\frac{\pi}{6}\right) = -5 \sin \frac{\pi}{6} + 48 \cos \left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -5 \cdot \frac{1}{2} + 48 \cos \frac{2\pi}{3} =$
$= -2,5 + 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2,5 - 24 = -26,5$.
• При $x = -\frac{\pi}{2}$: $y''\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -5 \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 48 \cos \left(4 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =$
$= -5 \cdot (-1) + 48 \cos (-2\pi) = 5 + 48 \cdot 1 = 53$.
Відповідь: 1) -26,5; 2) 53.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Алгоритм знаходження значення другої похідної в точці передбачає двоетапне диференціювання функції з подальшою підстановкою координати. Важливо правильно застосовувати правило похідної складеної функції для тригонометричних виразів з кратними кутами. Теорія: Похідні вищих порядків та таблиця похідних.
- Спочатку обчислюємо першу похідну, враховуючи, що $(\cos 4x)' = -4 \sin 4x$.
- Диференціюємо отриманий вираз ще раз для отримання формули другої похідної $y''$.
- Підставляємо табличні значення кутів. Пам'ятайте, що $\cos \frac{2\pi}{3}$ лежить у другій чверті та має від'ємне значення, а $\cos(-2\pi)$ відповідає точці на одиничному колі з абсцисою 1.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.