ГДЗ до вправи 42.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 42.5
Одне тіло рухається по координатній прямій за законом $s_1(t) = t^3 - t^2 + 3t - 2$, а друге — за законом $s_2(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 5t - 8$ (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть прискорення кожного тіла в момент часу, коли їхні швидкості рівні.
Розв'язок вправи № 42.5
Коротке рішення
1) Знайдемо швидкості тіл як перші похідні від законів руху:
$v_1(t) = s_1'(t) = 3t^2 - 2t + 3$;
$v_2(t) = s_2'(t) = t^2 + t + 5$.
2) Знайдемо момент часу, коли $v_1(t) = v_2(t)$:
$3t^2 - 2t + 3 = t^2 + t + 5 \Rightarrow 2t^2 - 3t - 2 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$t = \frac{3 \pm 5}{4} \Rightarrow t = 2$ або $t = -0,5$ (час не може бути від'ємним, тому $t = 2\text{ с}).$
3) Знайдемо прискорення як другі похідні:
$a_1(t) = v_1'(t) = 6t - 2$;
$a_2(t) = v_2'(t) = 2t + 1$.
4) Обчислимо прискорення при $t = 2$:
$a_1(2) = 6 \cdot 2 - 2 = 10\text{ м/с}^2$;
$a_2(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5\text{ м/с}^2$.
Відповідь: $10\text{ м/с}^2$ та $5\text{ м/с}^2$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для розв'язання фізичних задач використовуємо механічний зміст похідної: швидкість — це перша похідна від шляху, а прискорення — друга похідна. Теорія: Механічний зміст другої похідної.
- Диференціюємо обидва закони руху для отримання функцій швидкості.
- Розв'язуємо квадратне рівняння, щоб визначити конкретний момент часу, коли задовольняється умова рівності швидкостей.
- Знаходимо прискорення як похідні від швидкостей (або другі похідні від переміщення).
- Підставляємо знайдений час у формули прискорення для обох тіл.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.