ГДЗ до вправи 43.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 43.10
Розв’яжіть рівняння $\text{tg} \left( \frac{\pi}{5} \cos x \right) = 0$.
Розв'язок вправи № 43.10
Коротке рішення
$\text{tg} \left( \frac{\pi}{5} \cos x \right) = 0$.
1) Тангенс дорівнює нулю, коли його аргумент дорівнює $\pi n$:
$\frac{\pi}{5} \cos x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) Поділимо обидві частини на $\pi$ та помножимо на 5:
$\cos x = 5n$
3) Оскільки область значень косинуса $[-1; 1]$, рівність $\cos x = 5n$ можлива лише при $n = 0$.
4) При $n = 0$ маємо: $\cos x = 0$.
5) Знайдемо $x$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Відповідь: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Рівняння містить вкладену тригонометричну функцію. Основним кроком є використання властивостей області значень косинуса для відсіювання зайвих значень параметра $n$. Теорія: Властивості тригонометричних функцій.
- Використовуємо загальну формулу для $\text{tg } t = 0$.
- Спрощуємо вираз для внутрішньої функції $\cos x$.
- Враховуємо обмеження $|\cos x| \le 1$. Оскільки $n$ — ціле число, єдиним варіантом, при якому $5n$ потрапляє в цей діапазон, є $n=0$.
- Останнім кроком розв’язуємо отримане окреме рівняння для косинуса.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.