ГДЗ до вправи 44.63 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\cos \frac{x}{2} + \cos x = 0$

$\cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 = 0$

Нехай $\cos \frac{x}{2} = t, |t| \leqslant 1 \Rightarrow 2t^2 + t - 1 = 0 \Rightarrow D = 9, t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = -1$

$\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$\cos \frac{x}{2} = -1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $\pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, 2\pi + 4\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$

---

2) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = -2$

$\operatorname{tg} x + \frac{1}{\operatorname{tg} x} + 2 = 0 \Rightarrow \frac{\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x + 1}{\operatorname{tg} x} = 0 \Rightarrow \frac{(\operatorname{tg} x + 1)^2}{\operatorname{tg} x} = 0$

$\operatorname{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

• У першому рівнянні ми виразили $\cos x$ через $\cos \frac{x}{2}$, що дозволило отримати квадратне рівняння відносно $t = \cos \frac{x}{2}$.
• У другому рівнянні після заміни котангенса та зведення до спільного знаменника ми отримали повний квадрат у чисельнику. Зверніть увагу, що $\operatorname{tg} x$ не може дорівнювати нулю.
• Отримані значення для кута $x$ записуються у вигляді загальної формули з урахуванням періодичності функцій.