До змісту

ГДЗ до вправи 8.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 8.8

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x)=x6f(x) = x^6 на проміжку:

1) [−13;−1][-13; -1];
2) [−2;1][-2; 1];
3) [1;+∞)[1; +\infty);
4) (1;+∞)(1; +\infty).

Розв'язок вправи № 8.8

Коротке рішення

Функція f(x)=x6f(x) = x^6 парна, спадає при x≤0x \le 0, зростає при x≥0x \ge 0.

1) [−13;−1]⊂(−∞;0]⇒min⁡f(x)=f(−1)=1;[-13; -1] \subset (-\infty; 0] \Rightarrow \min f(x) = f(-1) = 1;
max⁡f(x)=f(−13)=136=4 826 809\max f(x) = f(-13) = 13^6 = 4\,826\,809.

2) [−2;1][-2; 1] містить 0⇒min⁡f(x)=f(0)=0;max⁡f(x)=f(−2)=640 \Rightarrow \min f(x) = f(0) = 0; \max f(x) = f(-2) = 64.

3) [1;+∞)⊂[0;+∞)⇒min⁡f(x)=f(1)=1; найбільшого немає[1; +\infty) \subset [0; +\infty) \Rightarrow \min f(x) = f(1) = 1; \text{ найбільшого немає}.

4) (1;+∞)⊂[0;+∞)⇒найменшого немає; найбільшого немає(1; +\infty) \subset [0; +\infty) \Rightarrow \text{найменшого немає; найбільшого немає}.

Детальне рішення

Ключ до розв’язання: При знаходженні екстремумів степеневої функції на нескінченних проміжках або відкритих інтервалах, слід пам'ятати, що функція може не мати найбільшого чи найменшого значення, якщо вона необмежено зростає або наближається до точки, що не входить у проміжок. Тема: Степенева функція з натуральним показником.

Розглянемо кожен проміжок для функції f(x)=x6f(x) = x^6:

  • У першому випадку: На відрізку [−13;−1][-13; -1] функція тільки спадає. Тому найвище значення буде на лівому кінці ((−13)6(-13)^6), а найнижче — на правому ((−1)6=1(-1)^6 = 1).
  • У другому випадку: Проміжок [−2;1][-2; 1] перетинає точку x=0x=0. Це "дно" нашої параболи, тому мінімум дорівнює 00. Оскільки точка −2-2 знаходиться далі від нуля, ніж точка 11, то значення в ній буде більшим: (−2)6=64(-2)^6 = 64 — це максимум.
  • У третьому випадку: Промінь [1;+∞)[1; +\infty) починається після точки мінімуму. Функція тут тільки зростає. Найменше значення — на старті (16=11^6 = 1). Оскільки промінь нескінченний, найбільшого значення не існує.
  • У четвертому випадку: Інтервал (1;+∞)(1; +\infty). Тут ситуація схожа на попередню, але точка 11 не входить у проміжок. Оскільки ми можемо підійти до 11 як завгодно близько, але не доторкнутися до неї, то найменшого значення (як і найбільшого) функція на цьому інтервалі не має.

Популярне у 10 класі