ГДЗ до вправи 8.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(-4) < f(2)$. При непарному $n$: $-4 < 2 \Rightarrow (-4)^n < 2^n$ (істинно). При парному $n$: $|-4| > |2| \Rightarrow (-4)^n > 2^n$ (хибно). Відповідь: непарне.

2) $f(-4) > f(2)$. При парному $n$: $|-4| > |2| \Rightarrow (-4)^n > 2^n$ (істинно). При непарному $n$: $-4 < 2 \Rightarrow (-4)^n < 2^n$ (хибно). Відповідь: парне.

3) $f(4) > f(-2)$. При непарному $n$: $4 > -2 \Rightarrow 4^n > (-2)^n$ (істинно). При парному $n$: $|4| > |-2| \Rightarrow 4^n > (-2)^n$ (істинно). Відповідь: будь-яке (і парне, і непарне).

• У першому випадку: $f(-4) < f(2)$. Оскільки $-4 < 2$, а результат нерівності зберігає такий самий знак для значень функції, це характерно для зростаючої функції. Зростаючою на всій прямій є функція з непарним показником. Якби $n$ було парним, то $(-4)^n = 4^n$, що було б більше за $2^n$.
• У другому випадку: $f(-4) > f(2)$. Тут значення від від'ємного числа виявилося більшим за значення від додатного. Це неможливо для непарного степеня (де від'ємне число в степені дає від'ємний результат). Але це правильно для парного степеня, бо $|-4| > |2|$, а для парних функцій чим більший модуль, тим більше значення.
• У третьому випадку: $f(4) > f(-2)$. Це твердження виконується завжди. Якщо $n$ непарне, то додатне $4^n$ завжди більше за від'ємне $(-2)^n$. Якщо $n$ парне, то $4^n > 2^n$, бо $|4| > |-2|$. Отже, $n$ може бути будь-яким натуральним числом.