ГДЗ до вправи 8.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(x) = 4x^3 + x^7$. Оскільки $f(x)$ — зростаюча на $\mathbb{R}$, рівняння має один корінь.

При $x = -1$: $4(-1)^3 + (-1)^7 = -4 - 1 = -5$.

Відповідь: $-1$.

---

2) $g(x) = x^6 + 3x^8$. Функція парна. На $[0; +\infty)$ функція $g(x)$ зростає.

При $x = 1$: $1^6 + 3 \cdot 1^8 = 1 + 3 = 4$.

З парності випливає $g(-1) = g(1) = 4$.

Відповідь: $1; -1$.

1) Рівняння $4x^3 + x^7 = -5$:

Розглянемо функцію $f(x) = 4x^3 + x^7$. Обидва доданки є степеневими функціями з непарним показником, які зростають на всій області визначення. Сума двох зростаючих функцій також є зростаючою. Це означає, що значення $-5$ функція може прийняти лише в одній точці. Перевіркою знаходимо, що при $x = -1$: $4 \cdot (-1) + (-1) = -5$. Отже, розв'язком є лише одне число.

2) Рівняння $x^6 + 3x^8 = 4$:

Функція $g(x) = x^6 + 3x^8$ складається з парних степенів, тому вона є парною ($g(-x) = g(x)$). На проміжку $[0; +\infty)$ вона зростає, тому на цій ділянці може бути лише один корінь. Легко побачити, що при $x = 1$ сума дорівнює $1 + 3 = 4$. Через властивість парності, якщо $1$ є коренем, то і $-1$ також буде коренем. Інших розв'язків бути не може через монотонність на окремих променях.