ГДЗ до вправи 8.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 8.11
Розв’яжіть рівняння:
- $4x^3 + x^7 = -5$;
- $x^6 + 3x^8 = 4$.
Розв'язок вправи № 8.11
Коротке рішення
1) $f(x) = 4x^3 + x^7$. Оскільки $f(x)$ — зростаюча на $\mathbb{R}$, рівняння має один корінь.
При $x = -1$: $4(-1)^3 + (-1)^7 = -4 - 1 = -5$.
Відповідь: $-1$.
2) $g(x) = x^6 + 3x^8$. Функція парна. На $[0; +\infty)$ функція $g(x)$ зростає.
При $x = 1$: $1^6 + 3 \cdot 1^8 = 1 + 3 = 4$.
З парності випливає $g(-1) = g(1) = 4$.
Відповідь: $1; -1$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Якщо в одній частині рівняння знаходиться строго монотонна функція, а в іншій — число, то рівняння може мати лише один корінь. Для парних функцій кількість розв'язків може подвоюватися через симетрію. Тема: Степенева функція з натуральним показником.
1) Рівняння $4x^3 + x^7 = -5$:
Розглянемо функцію $f(x) = 4x^3 + x^7$. Обидва доданки є степеневими функціями з непарним показником, які зростають на всій області визначення. Сума двох зростаючих функцій також є зростаючою. Це означає, що значення $-5$ функція може прийняти лише в одній точці. Перевіркою знаходимо, що при $x = -1$: $4 \cdot (-1) + (-1) = -5$. Отже, розв'язком є лише одне число.
2) Рівняння $x^6 + 3x^8 = 4$:
Функція $g(x) = x^6 + 3x^8$ складається з парних степенів, тому вона є парною ($g(-x) = g(x)$). На проміжку $[0; +\infty)$ вона зростає, тому на цій ділянці може бути лише один корінь. Легко побачити, що при $x = 1$ сума дорівнює $1 + 3 = 4$. Через властивість парності, якщо $1$ є коренем, то і $-1$ також буде коренем. Інших розв'язків бути не може через монотонність на окремих променях.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.