ГДЗ до вправи 8.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 8.3
Чи випливає з нерівності $x_1^n > x_2^n$, що $x_1 > x_2$, якщо:
- $n$ — парне;
- $n$ — непарне?
Розв'язок вправи № 8.3
Коротке рішення
1) $n$ — парне: Ні. Контрприклад: $(-5)^2 > 2^2$ ($25 > 4$), але $-5 < 2$.
2) $n$ — непарне: Так. Оскільки функція $f(x) = x^n$ при непарному $n$ є зростаючою на всій області визначення $\mathbb{R}$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Відповідь залежить від властивості монотонності функції $y = x^n$. Якщо функція зростає на всій області визначення, то з нерівності значень функції випливає відповідна нерівність аргументів. Тема: Степенева функція з натуральним показником.
1) Якщо показник степеня $n$ є парним, то функція не є монотонною на всій області визначення (вона спадає на від’ємному проміжку і зростає на додатному). У цьому випадку значення степеня залежить від модуля числа. Наприклад, візьмемо $x_1 = -5$, $x_2 = 2$ та $n = 2$. Тоді $(-5)^2 = 25$, $2^2 = 4$. Бачимо, що $25 > 4$, тобто $x_1^n > x_2^n$, проте $-5 < 2$ ($x_1 < x_2$). Отже, висновок не випливає.
2) Якщо $n$ — непарне, то функція $f(x) = x^n$ є строго зростаючою на всій множині дійсних чисел. Це означає, що за означенням зростаючої функції: якщо $f(x_1) > f(x_2)$, то і $x_1 > x_2$. Тому для непарного показника такий висновок завжди істинний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.