ГДЗ до вправи 8.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $n$ — парне: Ні. Контрприклад: $(-5)^2 > 2^2$ ($25 > 4$), але $-5 < 2$.

2) $n$ — непарне: Так. Оскільки функція $f(x) = x^n$ при непарному $n$ є зростаючою на всій області визначення $\mathbb{R}$.

1) Якщо показник степеня $n$ є парним, то функція не є монотонною на всій області визначення (вона спадає на від’ємному проміжку і зростає на додатному). У цьому випадку значення степеня залежить від модуля числа. Наприклад, візьмемо $x_1 = -5$, $x_2 = 2$ та $n = 2$. Тоді $(-5)^2 = 25$, $2^2 = 4$. Бачимо, що $25 > 4$, тобто $x_1^n > x_2^n$, проте $-5 < 2$ ($x_1 < x_2$). Отже, висновок не випливає.

2) Якщо $n$ — непарне, то функція $f(x) = x^n$ є строго зростаючою на всій множині дійсних чисел. Це означає, що за означенням зростаючої функції: якщо $f(x_1) > f(x_2)$, то і $x_1 > x_2$. Тому для непарного показника такий висновок завжди істинний.