ГДЗ до вправи 8.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 8.4
Чи випливає з нерівності $x_1 > x_2$, що $x_1^n > x_2^n$, якщо:
- $n$ — парне;
- $n$ — непарне?
Розв'язок вправи № 8.4
Коротке рішення
1) $n$ — парне: Ні. Контрприклад: $2 > -5$, проте $2^2 < (-5)^2$ ($4 < 25$).
2) $n$ — непарне: Так. Оскільки функція $y = x^n$ при непарному $n$ є зростаючою на всій області визначення.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: У цій задачі ми перевіряємо властивість збереження знака нерівності при піднесенні обох частин до натурального степеня. Тема: Степенева функція з натуральним показником.
1) Для парного показника степеня $n$ нерівність зберігається лише тоді, коли обидва числа є невід’ємними. Якщо ж числа мають різні знаки або обидва від’ємні, результат залежить від їхніх модулів. Наприклад, розглянемо числа $x_1 = 2$ та $x_2 = -5$. Очевидно, що $2 > -5$. Проте, піднісши їх до квадрата ($n = 2$), отримаємо $4 < 25$. Як бачимо, знак нерівності змінився на протилежний. Отже, загалом такий висновок робити не можна.
2) Для непарного показника степеня $n$ функція $y = x^n$ є монотонно зростаючою на всій множині $\mathbb{R}$. Це одна з фундаментальних властивостей непарних степенів: піднесення обох частин нерівності до непарного натурального степеня завжди дає рівносильну нерівність з тим самим знаком. Тому з $x_1 > x_2$ завжди випливає $x_1^n > x_2^n$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.