ГДЗ до вправи 8.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $n$ — парне: Ні. Контрприклад: $2 > -5$, проте $2^2 < (-5)^2$ ($4 < 25$).

2) $n$ — непарне: Так. Оскільки функція $y = x^n$ при непарному $n$ є зростаючою на всій області визначення.

1) Для парного показника степеня $n$ нерівність зберігається лише тоді, коли обидва числа є невід’ємними. Якщо ж числа мають різні знаки або обидва від’ємні, результат залежить від їхніх модулів. Наприклад, розглянемо числа $x_1 = 2$ та $x_2 = -5$. Очевидно, що $2 > -5$. Проте, піднісши їх до квадрата ($n = 2$), отримаємо $4 < 25$. Як бачимо, знак нерівності змінився на протилежний. Отже, загалом такий висновок робити не можна.

2) Для непарного показника степеня $n$ функція $y = x^n$ є монотонно зростаючою на всій множині $\mathbb{R}$. Це одна з фундаментальних властивостей непарних степенів: піднесення обох частин нерівності до непарного натурального степеня завжди дає рівносильну нерівність з тим самим знаком. Тому з $x_1 > x_2$ завжди випливає $x_1^n > x_2^n$.