ГДЗ до вправи 8.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Функція $f(x) = x^6$ парна, $\min = f(0) = 0$.

• 1) Якщо $0 \le a < 2$: $\min f(x) = f(a) = a^6$; $\max f(x) = f(2) = 64$.
• 2) Якщо $-2 \le a < 0$: $\min f(x) = f(0) = 0$; $\max f(x) = f(2) = 64$.
• 3) Якщо $a < -2$: $\min f(x) = f(0) = 0$; $\max f(x) = f(a) = a^6$.

Розглянемо функцію $f(x) = x^6$ на відрізку $[a; 2]$ за різних положень лівого кінця $a$:

1. Випадок $0 \le a < 2$: Весь відрізок лежить у зоні зростання функції (праворуч від нуля). Найменше значення буде в лівій точці: $f(a) = a^6$. Найбільше значення — у правій точці: $f(2) = 2^6 = 64$.
2. Випадок $-2 \le a < 0$: Відрізок $[a; 2]$ тепер містить точку $x = 0$. У цій точці функція досягає свого абсолютного мінімуму, тому $\min = 0$. Оскільки правий кінець $2$ за модулем не менший за лівий кінець $a$ ($|2| \ge |a|$), то найбільше значення залишається в точці $x = 2$ і дорівнює $64$.
3. Випадок $a < -2$: Відрізок також містить нуль, тому $\min = 0$. Проте тепер лівий кінець $a$ знаходиться далі від нуля, ніж правий кінець $2$ ($|a| > |2|$). З властивостей парної функції випливає, що найбільше значення буде саме там: $\max = f(a) = a^6$.