вправа 1206 гдз 7 клас алгебра Мерзляк Полонський
7 клас ➠ алгебра ➠ Мерзляк Полонський
Вправа 1206
Відповідь:
\begin{equation}n^{4}-1=\left ( n^{2}-1 \right )\left ( n^{2}+1 \right )=\end{equation}
\begin{equation}=\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )\left ( n^{2}+1 \right ).\end{equation}
Якщо n не кратне 5, то його можна подати у вигляді
n = 5k - 2,
n = 5k - 1,
n = 5k + 1 або n = 5k + 2.
Підставимо кожне з цих значень n в отриманий добуток.
1) n = 5k - 2:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (5k - 3)(5k - 1)(25k² - 20k + 5) – кратне 5;
2) n = 5k - 1:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (5k - 2) · 5k · (25k² - 20k + 2) – кратне 5;
3) n = 5k + 1:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= 5k · (5k + 2) · (25k² - 20k + 2) – кратне 5;
4) n = 5k + 2:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (5k - 1)(5k + 1)(25k² + 20k + 5) – кратне 5;
Твердження задачі доведено.
n = 5k - 2,
n = 5k - 1,
n = 5k + 1 або n = 5k + 2.
Підставимо кожне з цих значень n в отриманий добуток.
1) n = 5k - 2:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (5k - 3)(5k - 1)(25k² - 20k + 5) – кратне 5;
2) n = 5k - 1:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (5k - 2) · 5k · (25k² - 20k + 2) – кратне 5;
3) n = 5k + 1:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= 5k · (5k + 2) · (25k² - 20k + 2) – кратне 5;
4) n = 5k + 2:
(n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (5k - 1)(5k + 1)(25k² + 20k + 5) – кратне 5;
Твердження задачі доведено.