ГДЗ до вправи 10.23 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt[10]{x + 2} > 1 \Rightarrow x + 2 > 1 \Rightarrow x > -1$.
Відповідь: $(-1; +\infty)$.

2) $\sqrt[4]{5x + 1} < 3 \Rightarrow \begin{cases} 5x + 1 \ge 0 \\ 5x + 1 < 3^4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x \ge -1 \\ 5x < 80 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -0,2 \\ x < 16 \end{cases}$.
Відповідь: $[-0,2; 16)$.

3) $\sqrt[8]{x^2 - |x| + 1} > \sqrt[8]{5 - |x|} \Rightarrow \begin{cases} 5 - |x| \ge 0 \\ x^2 - |x| + 1 > 5 - |x| \end{cases} \Rightarrow$
$\begin{cases} |x| \le 5 \\ x^2 > 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5 \le x \le 5 \\ x < -2 \text{ або } x > 2 \end{cases}$.
Відповідь: $[-5; -2) \cup (2; 5]$.

• У першому випадку: Оскільки $1$ — додатне число, ми підносимо обидві частини до 10-го степеня. Умова $x+2 \ge 0$ автоматично виконується, оскільки $x+2 > 1$.
• У другому випадку: Маємо обмеження зверху, тому обов'язково додаємо умову ОДЗ: $5x+1 \ge 0$. Після піднесення до 4-го степеня ($3^4 = 81$) отримуємо систему лінійних нерівностей.
• У третьому випадку: Порівнюються два корені парного степеня. Знак нерівності для підкореневих виразів зберігається, оскільки функція зростає. Умова ОДЗ накладається на менший вираз ($5 - |x| \ge 0$), тоді більший вираз автоматично буде більшим за нуль.