ГДЗ до вправи 10.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.20
Знайдіть найбільше і найменше значення функції $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на проміжку:
- $[-3; -1]$;
- $[-1; 2]$;
- $[-3; +\infty)$.
Розв'язок вправи № 10.20
Коротке рішення
Функція $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ парна, $\min f(x) = f(0) = 0$. Зростає на $[0; +\infty)$, спадає на $(-\infty; 0]$.
1) $[-3; -1] \subset (-\infty; 0] \Rightarrow \max f(x) = f(-3) = \sqrt[4]{3}$; $\min f(x) = f(-1) = 1$.
2) $[-1; 2]$ містить $0 \Rightarrow \min f(x) = f(0) = 0$. Оскільки $|2| > |-1|$, то $\max f(x) = f(2) = \sqrt[4]{2}$.
3) $[-3; +\infty)$ містить $0 \Rightarrow \min f(x) = f(0) = 0$. Оскільки функція необмежена зверху, найбільшого значення не існує.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Функція $y = \sqrt[4]{|x|}$ є парною, її графік симетричний відносно осі ординат. Найменше значення функція приймає в точці $x=0$. На проміжках, що не містять нуль, екстремуми шукаються на кінцях відрізків залежно від відстані до початку координат. Тема: Функції та їх властивості.
Аналізуємо поведінку функції на кожному проміжку:
- У першому випадку: Відрізок $[-3; -1]$ лежить ліворуч від нуля. На цій ділянці функція спадає (чим більше за модулем від'ємне число, тим більше значення $y$). Найвіддаленіша точка — $-3$, тому там максимум ($\sqrt[4]{3}$). Найближча до нуля точка — $-1$, там мінімум ($\sqrt[4]{1} = 1$).
- У другому випадку: Проміжок $[-1; 2]$ включає $0$. Оскільки підкореневий вираз не може бути меншим за нуль, то мінімум — це $0$. Для знаходження максимуму порівнюємо значення на кінцях: $f(-1) = 1$ та $f(2) = \sqrt[4]{2}$. Оскільки $2 > 1$, то і $\sqrt[4]{2} > 1$. Максимум досягається в точці $x=2$.
- У третьому випадку: На промені $[-3; +\infty)$ також є точка $x=0$, де функція дорівнює $0$ (мінімум). Проте праворуч проміжок не обмежений, і при зростанні $x$ до нескінченності значення функції також необмежено зростає. Тому найбільшого значення функція не має.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.