ГДЗ до вправи 13.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{2 - x} = x \Rightarrow \begin{cases} 2 - x = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + x - 2 = 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow$
$\begin{cases} (x + 2)(x - 1) = 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow x = 1$

2) $\sqrt{x + 1} = x - 1 \Rightarrow \begin{cases} x + 1 = (x - 1)^2 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + 1 = x^2 - 2x + 1 \\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow$
$\begin{cases} x^2 - 3x = 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow x = 3$

3) $\sqrt{3x - 2} = x \Rightarrow \begin{cases} 3x - 2 = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 1; x_2 = 2$

4) $\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 1 = (3 - 2x)^2 \\ 3 - 2x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow$
$\begin{cases} 3x^2 - 12x + 10 = 0 \\ x \le 1,5 \end{cases} \Rightarrow x = 2 - \frac{\sqrt{6}}{3}$

5) $\sqrt{2x^2 + x - 21} = x - 3 \Rightarrow \begin{cases} 2x^2 + x - 21 = x^2 - 6x + 9 \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow$
$\begin{cases} x^2 + 7x - 30 = 0 \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow x = 3$

6) $\sqrt{8 - 3x - x^2} = -x - 2 \Rightarrow \begin{cases} 8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4 \\ -x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow$
$\begin{cases} 2x^2 + 7x - 4 = 0 \\ x \le -2 \end{cases} \Rightarrow x = -4$

• У прикладах 1–3 ми переходимо до квадратних рівнянь, обов'язково перевіряючи корені на відповідність умові $g(x) \ge 0$.
• У четвертому пункті один із коренів квадратного рівняння виявляється стороннім, оскільки він більший за $1,5$.
• У п'ятому та шостому пунктах спочатку ізолюємо корінь в одній частині рівняння, після чого застосовуємо стандартний алгоритм розв'язання.