До змісту

ГДЗ до вправи 13.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 13.2

Розв’яжіть рівняння:

  1. x+34=2x−34; \sqrt[4]{x + 3} = \sqrt[4]{2x - 3};
  2. 4x−5=1−x; \sqrt{4x - 5} = \sqrt{1 - x};
  3. x2−255=2x+105; \sqrt[5]{x^2 - 25} = \sqrt[5]{2x + 10};
  4. x2−36=2x−1. \sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}.

Розв'язок вправи № 13.2

Коротке рішення

1) x+3=2x−3⇒x=6 x + 3 = 2x - 3 \Rightarrow x = 6 . Перевірка: 6+3>0 6+3 > 0 (задов. ОДЗ). Відповідь: 6.

2) 4x−5=1−x⇒5x=6⇒x=1,2 4x - 5 = 1 - x \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = 1,2 . ОДЗ: 1−x≥0⇒x≤1 1 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 1 . 1,2>1⇒∅ 1,2 > 1 \Rightarrow \emptyset

3) x2−25=2x+10⇒x2−2x−35=0⇒ x^2 - 25 = 2x + 10 \Rightarrow x^2 - 2x - 35 = 0 \Rightarrow
(x−7)(x+5)=0⇒x1=7,x2=−5 (x - 7)(x + 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -5

4) {x2−36=2x−12x−1≥0⇒{x2−2x−35=0x≥0,5⇒ \begin{cases} x^2 - 36 = 2x - 1 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 2x - 35 = 0 \\ x \ge 0,5 \end{cases} \Rightarrow
{x=7;−5x≥0,5⇒x=7\begin{cases} x = 7; -5 \\ x \ge 0,5 \end{cases} \Rightarrow x = 7

Детальне рішення

Для знаходження розв’язків ірраціональних рівнянь необхідно враховувати тип кореня. Для коренів непарного степеня обмежень немає, для парного — підкореневий вираз має бути невід’ємним. Актуально: Корінь n-го степеня.

  • У першому пункті підносимо до 4-го степеня та знаходимо x=6 x = 6 . Оскільки обидва підкореневі вирази при цьому значенні додатні, корінь є розв'язком.
  • У другому пункті отримуємо x=1,2 x = 1,2 . Проте за ОДЗ для другого кореня x≤1 x \le 1 . Отже, рівняння не має коренів.
  • У третьому пункті степінь непарний (5), тому розв'язуємо отримане квадратне рівняння без перевірки ОДЗ. Отримуємо два розв'язки за теоремою Вієта.
  • У четвертому пункті знаходимо корені 7 та -5. Умова невід'ємності правої частини (2x−1≥0 2x-1 \ge 0 ) дозволяє залишити тільки значення 7.

Популярне у 10 класі