ГДЗ до вправи 14.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$$ (x - 2) - \sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} \cdot \sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 6} = 0 $$

$$ \sqrt{x - 2}(\sqrt{x - 2} - 1) + \sqrt{x + 6}(\sqrt{x - 2} - 1) = 0 $$

$$ (\sqrt{x - 2} - 1)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6}) = 0 $$

$$ \text{1) } \sqrt{x - 2} - 1 = 0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 $$

$$ \text{2) } \sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 0 \Rightarrow \emptyset \text{ (для ОДЗ } x \ge 2) $$

Відповідь: 3.

Перенесемо всі доданки в ліву частину та представимо $ x - 2 $ як $ (\sqrt{x - 2})^2 $. Це дозволяє згрупувати вирази парами: першу пару складають члени з радикалом $ \sqrt{x - 2} $, другу — члени з радикалом $ \sqrt{x + 6} $.

Винісши спільні множники, бачимо повторювану дужку $ (\sqrt{x - 2} - 1) $. Після факторизації рівняння розпадається на два простіші випадки.

Перший випадок дає корінь $ x = 3 $. У другому випадку сума двох невід'ємних чисел (одне з яких строго додатне на області визначення) не може дорівнювати нулю. Отже, рівняння має єдиний дійсний розв'язок.