До змісту

ГДЗ до вправи 17.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 17.5

Укажіть найбільше і найменше значення виразу:

  1. 2−sin⁡α; 2 - \sin \alpha;
  2. 6−2cos⁡α; 6 - 2 \cos \alpha;
  3. sin⁡2α; \sin^2 \alpha;
  4. 2cos⁡2α−3. 2 \cos^2 \alpha - 3.

Розв'язок вправи № 17.5

Коротке рішення

1) −1≤sin⁡α≤1⇒1≥−sin⁡α≥−1⇒3≥2−sin⁡α≥1 -1 \le \sin \alpha \le 1 \Rightarrow 1 \ge -\sin \alpha \ge -1 \Rightarrow 3 \ge 2 - \sin \alpha \ge 1 max=3;min=1 \text{max} = 3; \quad \text{min} = 1

2) −1≤cos⁡α≤1⇒2≥−2cos⁡α≥−2⇒8≥6−2cos⁡α≥4 -1 \le \cos \alpha \le 1 \Rightarrow 2 \ge -2 \cos \alpha \ge -2 \Rightarrow 8 \ge 6 - 2 \cos \alpha \ge 4 max=8;min=4 \text{max} = 8; \quad \text{min} = 4

3) −1≤sin⁡α≤1⇒0≤sin⁡2α≤1 -1 \le \sin \alpha \le 1 \Rightarrow 0 \le \sin^2 \alpha \le 1 max=1;min=0 \text{max} = 1; \quad \text{min} = 0

4) 0≤cos⁡2α≤1⇒0≤2cos⁡2α≤2⇒−3≤2cos⁡2α−3≤−1 0 \le \cos^2 \alpha \le 1 \Rightarrow 0 \le 2 \cos^2 \alpha \le 2 \Rightarrow -3 \le 2 \cos^2 \alpha - 3 \le -1 max=−1;min=−3 \text{max} = -1; \quad \text{min} = -3

Детальне рішення

Для знаходження екстремальних значень виразу використовуємо область значень тригонометричних функцій: E(sin) = [–1; 1] та E(cos) = [–1; 1]. Довідник: Властивості тригонометричних функцій.

  • У першому та другому пунктах ми послідовно оцінюємо вираз, враховуючи зміну знака нерівності при множенні на від'ємне число.
  • У третьому та четвертому пунктах важливо пам'ятати, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним. Оскільки синус і косинус не перевищують 1 за модулем, їхні квадрати змінюються в межах від 0 до 1.
  • Найбільше та найменше значення виразу досягаються у крайніх точках знайдених проміжків.

Популярне у 10 класі