ГДЗ до вправи 17.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 17.5
Укажіть найбільше і найменше значення виразу:
- $$ 2 - \sin \alpha; $$
- $$ 6 - 2 \cos \alpha; $$
- $$ \sin^2 \alpha; $$
- $$ 2 \cos^2 \alpha - 3. $$
Розв'язок вправи № 17.5
Коротке рішення
1) $ -1 \le \sin \alpha \le 1 \Rightarrow 1 \ge -\sin \alpha \ge -1 \Rightarrow 3 \ge 2 - \sin \alpha \ge 1 $ $ \text{max} = 3; \quad \text{min} = 1 $
2) $ -1 \le \cos \alpha \le 1 \Rightarrow 2 \ge -2 \cos \alpha \ge -2 \Rightarrow 8 \ge 6 - 2 \cos \alpha \ge 4 $ $ \text{max} = 8; \quad \text{min} = 4 $
3) $ -1 \le \sin \alpha \le 1 \Rightarrow 0 \le \sin^2 \alpha \le 1 $ $ \text{max} = 1; \quad \text{min} = 0 $
4) $ 0 \le \cos^2 \alpha \le 1 \Rightarrow 0 \le 2 \cos^2 \alpha \le 2 \Rightarrow -3 \le 2 \cos^2 \alpha - 3 \le -1 $ $ \text{max} = -1; \quad \text{min} = -3 $
Детальне рішення
Для знаходження екстремальних значень виразу використовуємо область значень тригонометричних функцій: E(sin) = [–1; 1] та E(cos) = [–1; 1]. Довідник: Властивості тригонометричних функцій.
- У першому та другому пунктах ми послідовно оцінюємо вираз, враховуючи зміну знака нерівності при множенні на від'ємне число.
- У третьому та четвертому пунктах важливо пам'ятати, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним. Оскільки синус і косинус не перевищують 1 за модулем, їхні квадрати змінюються в межах від 0 до 1.
- Найбільше та найменше значення виразу досягаються у крайніх точках знайдених проміжків.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.