ГДЗ до вправи 19.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 19.4
Доведіть, що числа $ \frac{2\pi}{3} $ і $ -4\pi $ є періодами функції $ f (x) = \cos 3x $.
Розв'язок вправи № 19.4
Коротке рішення
1) $ T_1 = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow f(x + \frac{2\pi}{3}) = \cos (3(x + \frac{2\pi}{3})) = \cos (3x + 2\pi) = \cos 3x = f(x) $
2) $ T_2 = -4\pi \Rightarrow f(x - 4\pi) = \cos (3(x - 4\pi)) = \cos (3x - 12\pi) = \cos 3x = f(x) $
Детальне рішення
Доведення базується на основній властивості періодичності косинуса: $ \cos (\alpha + 2\pi n) = \cos \alpha $, де $ n \in \mathbb{Z} $. Довідник: Тригонометричні функції.
- Для перевірки першого числа підставляємо його замість періоду в аргумент функції. Після розкриття дужок коефіцієнт $3$ скорочується зі знаменником, залишаючи зміщення на $ 2\pi $, що відповідає одному повному оберту на тригонометричному колі.
- Для другого числа ($ -4\pi $) аналогічна операція призводить до зміщення аргументу на $ -12\pi $. Оскільки $ -12\pi $ є кратним головному періоду косинуса ($ -12\pi = 2\pi \cdot (-6) $), значення функції не змінюється.
- Таким чином, обидва числа задовольняють означення періоду функції.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.