ГДЗ до вправи 2.26 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 2.26
Знайдіть:
- $\min_{\mathbb{R}} (|x - 1| + |x - 3|)$;
- $\max_{\mathbb{R}} (|x + 2| - |x|)$;
- $\max_{\mathbb{R}} \dfrac{1}{x^2 + 1}$.
Розв'язок вправи № 2.26
Короткий розв'язок
1) 2; 2) 2; 3) 1.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Для пошуку екстремумів функцій з модулем зручно використовувати геометричну інтерпретацію модуля як відстані між точками на числовій прямій. Додатково: Функції та їх властивості.
1) $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$. Сума відстаней від точки $x$ до точок 1 та 3 є мінімальною, коли точка $x$ лежить між ними (на відрізку $[1; 3]$). Ця сума дорівнює довжині відрізка: $3 - 1 = 2$.
Відповідь: 2.
2) $f(x) = |x + 2| - |x|$. Різниця відстаней від точки $x$ до точок $-2$ та $0$ не перевищує відстані між самими точками (нерівність трикутника). Максимальне значення досягається при $x \geq 0$ і дорівнює довжині відрізка: $|0 - (-2)| = 2$.
Відповідь: 2.
3) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$. Дріб має найбільше значення, коли його знаменник найменший. Знаменник $x^2 + 1$ набуває мінімального значення 1 при $x = 0$. Отже, $\max f(x) = \frac{1}{1} = 1$.
Відповідь: 1.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.