ГДЗ до вправи 2.23 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 2.23
Функція $f$ є непарною, $\min_{[2; 5]} f(x) = 1$ і $\max_{[2; 5]} f(x) = 3$. Знайдіть $\min_{[-5; -2]} f(x), \max_{[-5; -2]} f(x)$.
Розв'язок вправи № 2.23
Короткий розв'язок
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Для непарної функції виконується рівність $f(-x) = -f(x)$. Це означає, що її графік симетричний відносно початку координат. Якщо на проміжку $[a; b]$ функція набуває значень від $m$ до $M$, то на симетричному проміжку $[-b; -a]$ вона набуватиме значень від $-M$ до $-m$. Повторити тему: Функції та їх властивості.
1) Розглянемо проміжок $M_1 = [2; 5]$. За умовою на цьому відрізку найменше значення функції $m = 1$, а найбільше $M = 3$. Тобто для будь-якого $x \in [2; 5]$ виконується нерівність:
2) Нам потрібно знайти значення на проміжку $M_2 = [-5; -2]$. Якщо $x \in [-5; -2]$, то протилежне йому число $-x$ належить проміжку $[2; 5]$. Тобто для $-x$ справедлива нерівність:
3) Оскільки за умовою функція $f$ є непарною, то $f(-x) = -f(x)$. Підставимо це у нерівність:
4) Помножимо всі частини нерівності на $-1$ (при цьому знаки нерівності змінюються на протилежні):
Отже, на проміжку $[-5; -2]$ найменше значення дорівнює $-3$, а найбільше дорівнює $-1$.
Відповідь: $-3; -1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.