ГДЗ до вправи 23.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.10
Знайдіть $\sin (\alpha - \beta)$, якщо $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ і $\cos \beta = \frac{7}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.
Розв'язок вправи № 23.10
Коротке рішення
1) $\alpha \in \text{III чв.} \Rightarrow \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} =$
$= -\sqrt{1 - (-\frac{15}{17})^2} = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}$
2) $\beta \in \text{IV чв.} \Rightarrow \sin \beta = -\sqrt{1 - \cos^2 \beta} =$
$= -\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25}$
3) $\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta =$
$= (-\frac{15}{17}) \cdot \frac{7}{25} - (-\frac{8}{17}) \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{105}{425} - \frac{192}{425} = -\frac{297}{425}$
Відповідь: $-\frac{297}{425}$.
Детальне рішення
Для обчислення синуса різниці аргументів необхідно знайти відсутні значення косинуса та синуса для кожного кута, враховуючи їхнє розташування в чвертях одиничного кола. Теорія: Тригонометричні тотожності.
- Першим кроком визначаємо $\cos \alpha$. За умовою кут $\alpha$ належить третій чверті, де косинус має від'ємне значення. Обчислюємо його через відомий синус.
- Другим кроком знаходимо $\sin \beta$. Кут $\beta$ належить четвертій чверті, де синус є від'ємним.
- Застосовуємо формулу синуса різниці: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
- Виконуємо арифметичні дії з дробами. Оскільки спільний знаменник для обох складових дорівнює $17 \cdot 25 = 425$, підсумовуємо чисельники для отримання фінального результату.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.