До змісту

ГДЗ до вправи 23.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 23.10

Знайдіть sin⁡(α−β)\sin (\alpha - \beta), якщо sin⁡α=−1517\sin \alpha = -\frac{15}{17}, π<α<3π2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} і cos⁡β=725\cos \beta = \frac{7}{25}, 3π2<β<2π\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi.

Розв'язок вправи № 23.10

Коротке рішення

1) α∈III чв.⇒cos⁡α=−1−sin⁡2α=\alpha \in \text{III чв.} \Rightarrow \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} =
=−1−(−1517)2=−64289=−817= -\sqrt{1 - (-\frac{15}{17})^2} = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}

2) β∈IV чв.⇒sin⁡β=−1−cos⁡2β=\beta \in \text{IV чв.} \Rightarrow \sin \beta = -\sqrt{1 - \cos^2 \beta} =
=−1−(725)2=−576625=−2425= -\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25}

3) sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β=\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta =
=(−1517)⋅725−(−817)⋅(−2425)=−105425−192425=−297425= (-\frac{15}{17}) \cdot \frac{7}{25} - (-\frac{8}{17}) \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{105}{425} - \frac{192}{425} = -\frac{297}{425}

Відповідь: −297425-\frac{297}{425}.

Детальне рішення

Для обчислення синуса різниці аргументів необхідно знайти відсутні значення косинуса та синуса для кожного кута, враховуючи їхнє розташування в чвертях одиничного кола. Теорія: Тригонометричні тотожності.

  • Першим кроком визначаємо cos⁡α\cos \alpha. За умовою кут α\alpha належить третій чверті, де косинус має від'ємне значення. Обчислюємо його через відомий синус.
  • Другим кроком знаходимо sin⁡β\sin \beta. Кут β\beta належить четвертій чверті, де синус є від'ємним.
  • Застосовуємо формулу синуса різниці: sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta.
  • Виконуємо арифметичні дії з дробами. Оскільки спільний знаменник для обох складових дорівнює 17⋅25=42517 \cdot 25 = 425, підсумовуємо чисельники для отримання фінального результату.

Популярне у 10 класі