ГДЗ до вправи 23.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.9
Знайдіть $\cos (\alpha + \beta)$, якщо $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ і $\cos \beta = -\frac{4}{5}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.
Розв'язок вправи № 23.9
Коротке рішення
1) $\alpha \in \text{I чв.} \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$
2) $\beta \in \text{II чв.} \Rightarrow \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
3) $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta =$
$= \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{12}{25} - \frac{12}{25} = -\frac{24}{25}$
Відповідь: $-0,96$.
Детальне рішення
Для розв'язання задачі необхідно знайти невідомі значення синуса для обох кутів та застосувати формулу косинуса суми. Теорія: Формули додавання.
- Першим кроком визначаємо синуси кутів $\alpha$ та $\beta$. Оскільки кут $\alpha$ належить першій чверті, а кут $\beta$ — другій, синус в обох випадках буде додатним значенням.
- Використовуємо основну тригонометричну тотожність $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для обчислень.
- Підставляємо всі чотири значення (синуси та косинуси) у формулу $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
- Отримуємо результат у вигляді звичайного дробу $-\frac{24}{25}$, що відповідає десятковому значенню $-0,96$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.