До змісту

ГДЗ до вправи 28.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 28.16

Визначте кількість коренів рівняння sin⁡x=a\sin x = a залежно від значення параметра aa на проміжку:

  1. (−π6;2π3]\left( -\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right];
  2. [−5π6;3π2]\left[ -\frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2} \right].

Розв'язок вправи № 28.16

Коротке рішення

1) (−π6;2π3](-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]: sin⁡(−π6)=−0,5\sin(-\frac{\pi}{6}) = -0,5 (виколото); sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2} = 1; sin⁡2π3=32\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

  • a=1;a∈(−0,5;32]⇒a = 1; a \in (-0,5; \frac{\sqrt{3}}{2}] \Rightarrow 1 корінь;
  • a∈(32;1)⇒a \in (\frac{\sqrt{3}}{2}; 1) \Rightarrow 2 корені.

2) [−5π6;3π2][-\frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]: sin⁡(−5π6)=−0,5\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -0,5; sin⁡(−π2)=−1\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1; sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2} = 1; sin⁡3π2=−1\sin \frac{3\pi}{2} = -1.

  • a=1;a=−1⇒a = 1; a = -1 \Rightarrow 2 корені (для a=−1a=-1 це −π2-\frac{\pi}{2} та 3π2\frac{3\pi}{2});
  • a∈(−0,5;1)⇒a \in (-0,5; 1) \Rightarrow 2 корені;
  • a∈(−1;−0,5]⇒a \in (-1; -0,5] \Rightarrow 3 корені.

Детальне рішення

Аналіз кількості коренів проводиться шляхом зіставлення рівня aa з екстремумами та граничними значеннями функції на інтервалах. Теорія: Тригонометричні функції.

  • У першому пункті проміжок короткий. Функція зростає від виколотої точки до максимуму і трохи спадає. Це пояснює появу двох коренів лише у вузькому діапазоні значень aa поблизу одиниці.
  • У другому пункті графік проходить через два мінімуми та один максимум. Для значень поблизу −1-1 ми маємо три перетини (один на лівій вітці та два на правій хвилі), доки не досягаємо межі −0,5-0,5, після якої кількість коренів зменшується до двох.

Популярне у 10 класі