ГДЗ до вправи 28.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\left( \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) (\sin x - a) = 0, \quad x \in [0; 2\pi)$

1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4}$ (2 корені завжди).

2) $\sin x = a$.

• Якщо $|a| > 1 \Rightarrow$ 2 корені.
• Якщо $a = 1 \text{ (дає } x = \frac{\pi}{2}); a = -1 \text{ (дає } x = \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow$ 3 корені.
• Якщо $a = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ (дає } x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}); a = \sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ (дає } x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}) \Rightarrow$ 3 корені.
• Якщо $a \in (-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; 1) \Rightarrow$ 4 корені.

• Аналіз першого множника: Рівняння $\cos x = 0,707$ на проміжку $[0; 2\pi)$ дає два сталі корені у першій та четвертій чвертях.
• Аналіз другого множника: Рівняння $\sin x = a$ додає розв'язки лише при $|a| \le 1$. Якщо $a$ відповідає синусу вже знайдених точок ($\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$), з'являється лише один новий корінь замість двох.
• Критичні точки: При $a = \pm 1$ рівняння синуса дає лише одну точку (екстремум), що разом з двома коренями косинуса дає три розв'язки.