ГДЗ до вправи 28.18 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$(\cos x - a) \left( \sin x + \frac{1}{2} \right) = 0, \quad x \in (0; 2\pi]$

1) $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6}$ (2 сталі корені).

2) $\cos x = a$.

• Якщо $|a| > 1 \Rightarrow$ 2 корені.
• Якщо $a = 1 \text{ (дає } x = 2\pi); a = -1 \text{ (дає } x = \pi) \Rightarrow$ 3 корені.
• Якщо $a = \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (дає } x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6});$
  $a = \cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (дає } x = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) \Rightarrow$ 3 корені.
• Якщо $a \in (-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; 1) \Rightarrow$ 4 корені.

• У цьому рівнянні інтервал $(0; 2\pi]$ включає повний оберт кола, де $0$ виколото, а $2\pi$ входить до розв'язку.
• Перший множник $\sin x = -0,5$ завжди дає два розв'язки у нижній півплощині кола.
• Другий множник $\cos x = a$ додає точки перетину залежно від положення вертикальної прямої $x = a$. Коли ця пряма проходить через абсциси вже знайдених точок ($\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$), кількість унікальних коренів зменшується через їхній збіг.
• При межових значеннях $a = \pm 1$ косинус має лише один корінь на проміжку, що призводить до загальної кількості 3.