ГДЗ до вправи 31.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x \neq 0$

$\text{tg}^2 x + \text{tg } x - 2 = 0 \Rightarrow \text{tg } x = 1, \text{tg } x = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = -\text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $5 \cos^2 x - 3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \Rightarrow 5 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

$5 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg } x - 3 = 0 \Rightarrow \text{tg } x = \frac{3}{5}, \text{tg } x = -1 \Rightarrow x = \text{arctg } \frac{3}{5} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) \Rightarrow \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

$\cos x (\sin x + \cos x) = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \text{ або } \text{tg } x = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $3 \sin x \cos x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x \Rightarrow \sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0$

$\sin x (\sin x - 3 \cos x) = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \text{ або } \text{tg } x = 3 \Rightarrow x = \pi n; \quad x = \text{arctg } 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті спочатку розкрито синус подвійного кута $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, після чого рівняння розв'язано через ділення на квадрат косинуса.
• У другому та третьому пунктах вільний член (числа 2 та 3) замінено на суму квадратів синуса та косинуса з відповідним коефіцієнтом, що звело задачу до квадратного рівняння відносно тангенса.
• У четвертому пункті після заміни одиниці доданки $\cos^2 x$ взаємно знищилися, а рівняння було розв'язане методом винесення спільного множника за дужки.