ГДЗ до вправи 32.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 32.4
Розв'яжіть рівняння $\cos 5x + \sin 3x = 0$.
Розв'язок вправи № 32.4
Коротке рішення
$\cos 5x + \sin 3x = 0 \Rightarrow \cos 5x + \cos \left( \frac{\pi}{2} - 3x \right) = 0$
$2 \cos \frac{5x + \frac{\pi}{2} - 3x}{2} \cos \frac{5x - \left( \frac{\pi}{2} - 3x \right)}{2} = 0 \Rightarrow 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( 4x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$
— $\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
— $\cos \left( 4x - \frac{\pi}{4} \right) = 0 \Rightarrow 4x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$
Відповідь: $\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, n, k \in \mathbb{Z}$.
Детальне рішення
При розв'язанні рівнянь, що містять суму функцій синуса та косинуса, використовують перетворення однієї з функцій через формулу зведення $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Теорія: Формули суми та різниці.
- Крок 1: Перетворюємо $\sin 3x$ у $\cos \left( \frac{\pi}{2} - 3x \right)$. Це дозволяє застосувати формулу суми косинусів.
- Крок 2: Використовуємо тотожність $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.
- Крок 3: Спрощуємо аргументи отриманих косинусів та прирівнюємо кожен множник до нуля.
- Крок 4: Знаходимо невідому $x$ для кожної серії розв'язків, враховуючи період тригонометричних функцій.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.