ГДЗ до вправи 32.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin 5x = \cos 4x \Rightarrow \sin 5x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 4x \right) \Rightarrow \sin 5x - \sin \left( \frac{\pi}{2} - 4x \right) = 0$

$2 \sin \frac{5x - \left( \frac{\pi}{2} - 4x \right)}{2} \cos \frac{5x + \left( \frac{\pi}{2} - 4x \right)}{2} = 0 \Rightarrow 2 \sin \left( \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0$

— $\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}$

— $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{9}, \frac{\pi}{2} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sin 10x - \cos 2x = 0 \Rightarrow \sin 10x - \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = 0$

$2 \sin \frac{10x - \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)}{2} \cos \frac{10x + \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)}{2} = 0 \Rightarrow 2 \sin \left( 6x - \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( 4x + \frac{\pi}{4} \right) = 0$

— $6x - \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$

— $4x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{6}, \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, n, k \in \mathbb{Z}$.

• У обох рівняннях ми спочатку замінюємо косинус на синус через додатковий кут $\frac{\pi}{2}$.
• Використовуємо формулу різниці синусів: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$.
• Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Це дає дві незалежні серії розв'язків для кожного пункту.