ГДЗ до вправи 32.46 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\text{tg } 2x + \sin 2x = \frac{8}{3} \text{ctg } x$

$\frac{\sin 2x (1 + \cos 2x)}{\cos 2x} = \frac{8 \cos x}{3 \sin x} \Rightarrow \frac{4 \sin x \cos^3 x}{\cos 2x} = \frac{8 \cos x}{3 \sin x}$

$12 \sin^2 x \cos^2 x = 8 \cos 2x \Rightarrow 3 \sin^2 2x - 8 \cos 2x = 0 \Rightarrow $
$3 \cos^2 2x + 8 \cos 2x - 3 = 0$

$\cos 2x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm 0,5 \arccos \frac{1}{3} + \pi n$.

Відповідь: $\pm 0,5 \arccos \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \text{ctg } 2x$

$\frac{\text{tg } 2x - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \text{tg } 2x} = \frac{\sqrt{3} \text{tg } 2x + 9}{3 \text{tg } 2x} \Rightarrow 3 \text{tg}^2 2x - 3\sqrt{3} \text{tg } 2x =$
$= \sqrt{3} \text{tg } 2x + 9 + 3 \text{tg}^2 2x + 9\sqrt{3} \text{tg } 2x$

$-13\sqrt{3} \text{tg } 2x = 9 \Rightarrow \text{tg } 2x = -\frac{3\sqrt{3}}{13} \Rightarrow x = -0,5 \text{arctg} \frac{3\sqrt{3}}{13} + \frac{\pi n}{2}$.

Відповідь: $-0,5 \text{arctg} \frac{3\sqrt{3}}{13} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $2 \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} + x \right) + 5\sqrt{3} \text{tg} \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = -7$

$\frac{2(1+t)}{1-t} + \frac{5\sqrt{3}(\sqrt{3}+t)}{1-\sqrt{3}t} = -7 \Rightarrow (-4\sqrt{3}-20)t = -24 \text{ (де } t = \text{tg } x \text{)}$

$\text{tg } x = \frac{6}{\sqrt{3} + 5} \Rightarrow x = \text{arctg} \frac{6}{\sqrt{3} + 5} + \pi n$.

Відповідь: $\text{arctg} \frac{6}{\sqrt{3} + 5} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті ліва частина згортається через винесення синуса подвійного кута, а права розписується через відношення косинуса до синуса. Це зводить задачу до квадратного рівняння відносно $\cos 2x$.
• У другому пункті використано аналогічний підхід з переходом до тангенса одного аргументу, що призводить до лінійного рівняння після скорочення квадратних доданків.
• У третьому пункті застосовано заміну $t = \text{tg } x$ після розкриття формул тангенса суми. Хоча отримані числа є ірраціональними, структура рівняння дозволяє знайти точне значення для $t$.