До змісту

Розв'язання вправи № 34 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність:

1) 1(a−b)(a−c)+1(b−c)(b−a)+1(c−a)(c−b)=0 \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0 ;

2) yz(x−y)(x−z)+xz(y−x)(y−z)+xy(z−x)(z−y)=1 \frac{yz}{(x-y)(x-z)} + \frac{xz}{(y-x)(y-z)} + \frac{xy}{(z-x)(z-y)} = 1 .

Короткий розв'язок

1) −(b−c)−(c−a)−(a−b)(a−b)(b−c)(c−a)=−b+c−c+a−a+b(a−b)(b−c)(c−a)=0 \frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0

2) −yz(y−z)−xz(z−x)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x)=(x−y)(y−z)(z−x)(x−y)(y−z)(z−x)=1 \frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)} = \frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)} = 1

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення тотожностей ми перетворимо їх ліві частини, звівши дроби до спільного знаменника. Важливим кроком є уніфікація множників у знаменниках шляхом винесення знаку "мінус", наприклад, (b−a)=−(a−b) (b-a) = -(a-b) .

1) 1(a−b)(a−c)+1(b−c)(b−a)+1(c−a)(c−b)=0 \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0

Приведемо знаменники до єдиного вигляду. Зауважимо, що (b−a)=−(a−b) (b-a) = -(a-b) , (c−a)=−(a−c) (c-a) = -(a-c) та (c−b)=−(b−c) (c-b) = -(b-c) .

1(a−b)(a−c)+1(b−c)(−(a−b))+1(−(a−c))(−(b−c))= \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(-(a-b))} + \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} =
=1(a−b)(a−c)−1(a−b)(b−c)+1(a−c)(b−c) = \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)}

Спільний знаменник: (a−b)(a−c)(b−c) (a-b)(a-c)(b-c) .

1⋅(b−c)(a−b)(a−c)−1⋅(a−c)(a−b)(b−c)+1⋅(a−b)(a−c)(b−c)=(b−c)−(a−c)+(a−b)(a−b)(a−c)(b−c)= \frac{1^{\cdot(b-c)}}{(a-b)(a-c)} - \frac{1^{\cdot(a-c)}}{(a-b)(b-c)} + \frac{1^{\cdot(a-b)}}{(a-c)(b-c)} = \frac{(b-c)-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} =
=b−c−a+c+a−b(a−b)(a−c)(b−c)=0(a−b)(a−c)(b−c)=0 = \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0

Оскільки 0=00=0, тотожність доведено.

2) yz(x−y)(x−z)+xz(y−x)(y−z)+xy(z−x)(z−y)=1 \frac{yz}{(x-y)(x-z)} + \frac{xz}{(y-x)(y-z)} + \frac{xy}{(z-x)(z-y)} = 1

Аналогічно, приведемо знаменники до єдиного вигляду. Спільний знаменник: (x−y)(x−z)(y−z) (x-y)(x-z)(y-z) .

yz(x−y)(x−z)+xz−(x−y)(y−z)+xy(−(x−z))(−(y−z))= \frac{yz}{(x-y)(x-z)} + \frac{xz}{-(x-y)(y-z)} + \frac{xy}{(-(x-z))(-(y-z))} =
=yz(x−y)(x−z)−xz(x−y)(y−z)+xy(x−z)(y−z) = \frac{yz}{(x-y)(x-z)} - \frac{xz}{(x-y)(y-z)} + \frac{xy}{(x-z)(y-z)}

Зведемо до спільного знаменника:

yz⋅(y−z)−xz⋅(x−z)+xy⋅(x−y)(x−y)(x−z)(y−z)=y2z−yz2−x2z+xz2+x2y−xy2(x−y)(x−z)(y−z) \frac{yz^{\cdot(y-z)} - xz^{\cdot(x-z)} + xy^{\cdot(x-y)}}{(x-y)(x-z)(y-z)} = \frac{y^2z-yz^2-x^2z+xz^2+x^2y-xy^2}{(x-y)(x-z)(y-z)}

Розкладемо чисельник на множники. Згрупуємо доданки:

(x2y−xy2)−(x2z−xz2)+(y2z−yz2)=xy(x−y)−xz(x−z)+yz(y−z) (x^2y-xy^2) - (x^2z-xz^2) + (y^2z-yz^2) = xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z)

Це не найзручніший спосіб. Спробуємо згрупувати інакше:

y2z−yz2−x2z+xz2+x2y−xy2=x2(y−z)−x(y2−z2)+yz(y−z)= y^2z - yz^2 - x^2z + xz^2 + x^2y - xy^2 = x^2(y-z) - x(y^2-z^2) + yz(y-z) =
=x2(y−z)−x(y−z)(y+z)+yz(y−z)=(y−z)(x2−x(y+z)+yz)= = x^2(y-z) - x(y-z)(y+z) + yz(y-z) = (y-z)(x^2 - x(y+z) + yz) =
=(y−z)(x2−xy−xz+yz)=(y−z)(x(x−y)−z(x−y))=(y−z)(x−y)(x−z) = (y-z)(x^2-xy-xz+yz) = (y-z)(x(x-y)-z(x-y)) = (y-z)(x-y)(x-z)

Підставимо розкладений чисельник у дріб:

(y−z)(x−y)(x−z)(x−y)(x−z)(y−z)=1 \frac{(y-z)(x-y)(x-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} = 1

Оскільки 1=11=1, тотожність доведено.

Популярне у 8 класі