До змісту

Розв'язання вправи № 31 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дію:

1) 2c−72(c+5)+4−cc+5 \frac{2c-7}{2(c+5)} + \frac{4-c}{c+5} ;     2) a−13a+6−a4a+8 \frac{a-1}{3a+6} - \frac{a}{4a+8} ;     3) 7x−14x(x+2) \frac{7}{x} - \frac{14}{x(x+2)} ;

4) 9m2+4m−5m+4 \frac{9}{m^2+4m} - \frac{5}{m+4} ;     5) ba2−b2+1a+b \frac{b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a+b} ;     6) x+3x2+2x+1−1x+1 \frac{x+3}{x^2+2x+1} - \frac{1}{x+1} .

Короткий розв'язок

1) 2c−7+2(4−c)2(c+5)=2c−7+8−2c2(c+5)=12(c+5) \frac{2c-7+2(4-c)}{2(c+5)} = \frac{2c-7+8-2c}{2(c+5)} = \frac{1}{2(c+5)}

2) a−13(a+2)−a4(a+2)=4(a−1)−3a12(a+2)=4a−4−3a12(a+2)=a−412(a+2) \frac{a-1}{3(a+2)} - \frac{a}{4(a+2)} = \frac{4(a-1)-3a}{12(a+2)} = \frac{4a-4-3a}{12(a+2)} = \frac{a-4}{12(a+2)}

3) 7(x+2)−14x(x+2)=7x+14−14x(x+2)=7xx(x+2)=7x+2 \frac{7(x+2)-14}{x(x+2)} = \frac{7x+14-14}{x(x+2)} = \frac{7x}{x(x+2)} = \frac{7}{x+2}

4) 9m(m+4)−5mm(m+4)=9−5mm(m+4) \frac{9}{m(m+4)} - \frac{5m}{m(m+4)} = \frac{9-5m}{m(m+4)}

5) b(a−b)(a+b)+a−b(a−b)(a+b)=b+a−ba2−b2=aa2−b2 \frac{b}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{b+a-b}{a^2-b^2} = \frac{a}{a^2-b^2}

6) x+3(x+1)2−x+1(x+1)2=x+3−(x+1)(x+1)2=2(x+1)2 \frac{x+3}{(x+1)^2} - \frac{x+1}{(x+1)^2} = \frac{x+3-(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб виконати дію з дробами з різними знаменниками, їх спочатку потрібно звести до спільного знаменника. Для цього знаменники розкладають на множники, знаходять найменший спільний знаменник (НСЗ), визначають додаткові множники для кожного дробу і виконують дії.

1) 2c−72(c+5)+4−cc+5 \frac{2c-7}{2(c+5)} + \frac{4-c}{c+5}

НСЗ: 2(c+5)2(c+5). Додатковий множник для другого дробу - 2.

2c−72(c+5)+(4−c)⋅2c+5=2c−7+2(4−c)2(c+5)=2c−7+8−2c2(c+5)=12(c+5) \frac{2c-7}{2(c+5)} + \frac{(4-c)^{\cdot 2}}{c+5} = \frac{2c-7+2(4-c)}{2(c+5)} = \frac{2c-7+8-2c}{2(c+5)} = \frac{1}{2(c+5)}

2) a−13a+6−a4a+8 \frac{a-1}{3a+6} - \frac{a}{4a+8}

Розкладемо знаменники: 3(a+2)3(a+2) і 4(a+2)4(a+2). НСЗ: 12(a+2)12(a+2).

(a−1)⋅43(a+2)−a⋅34(a+2)=4(a−1)−3a12(a+2)=4a−4−3a12(a+2)=a−412(a+2) \frac{(a-1)^{\cdot 4}}{3(a+2)} - \frac{a^{\cdot 3}}{4(a+2)} = \frac{4(a-1)-3a}{12(a+2)} = \frac{4a-4-3a}{12(a+2)} = \frac{a-4}{12(a+2)}

3) 7x−14x(x+2) \frac{7}{x} - \frac{14}{x(x+2)}

НСЗ: x(x+2)x(x+2). Додатковий множник для першого дробу - (x+2)(x+2).

7⋅(x+2)x−14x(x+2)=7(x+2)−14x(x+2)=7x+14−14x(x+2)=7xx(x+2)=7x+2 \frac{7^{\cdot (x+2)}}{x} - \frac{14}{x(x+2)} = \frac{7(x+2)-14}{x(x+2)} = \frac{7x+14-14}{x(x+2)} = \frac{7x}{x(x+2)} = \frac{7}{x+2}

4) 9m2+4m−5m+4 \frac{9}{m^2+4m} - \frac{5}{m+4}

Розкладемо перший знаменник: m(m+4)m(m+4). Це і є НСЗ.

9m(m+4)−5⋅mm+4=9−5mm(m+4) \frac{9}{m(m+4)} - \frac{5^{\cdot m}}{m+4} = \frac{9-5m}{m(m+4)}

5) ba2−b2+1a+b \frac{b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a+b}

Розкладемо перший знаменник: (a−b)(a+b)(a-b)(a+b). Це і є НСЗ.

b(a−b)(a+b)+1⋅(a−b)a+b=b+(a−b)(a−b)(a+b)=aa2−b2 \frac{b}{(a-b)(a+b)} + \frac{1^{\cdot(a-b)}}{a+b} = \frac{b+(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a^2-b^2}

6) x+3x2+2x+1−1x+1 \frac{x+3}{x^2+2x+1} - \frac{1}{x+1}

Розкладемо перший знаменник: (x+1)2(x+1)^2. Це і є НСЗ.

x+3(x+1)2−1⋅(x+1)x+1=x+3−(x+1)(x+1)2=x+3−x−1(x+1)2=2(x+1)2 \frac{x+3}{(x+1)^2} - \frac{1^{\cdot(x+1)}}{x+1} = \frac{x+3-(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x+3-x-1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}