Розв'язання вправи № 31 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Виконайте дію:
1) $ \frac{2c-7}{2(c+5)} + \frac{4-c}{c+5} $; 2) $ \frac{a-1}{3a+6} - \frac{a}{4a+8} $; 3) $ \frac{7}{x} - \frac{14}{x(x+2)} $;
4) $ \frac{9}{m^2+4m} - \frac{5}{m+4} $; 5) $ \frac{b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a+b} $; 6) $ \frac{x+3}{x^2+2x+1} - \frac{1}{x+1} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{2c-7+2(4-c)}{2(c+5)} = \frac{2c-7+8-2c}{2(c+5)} = \frac{1}{2(c+5)} $
2) $ \frac{a-1}{3(a+2)} - \frac{a}{4(a+2)} = \frac{4(a-1)-3a}{12(a+2)} = \frac{4a-4-3a}{12(a+2)} = \frac{a-4}{12(a+2)} $
3) $ \frac{7(x+2)-14}{x(x+2)} = \frac{7x+14-14}{x(x+2)} = \frac{7x}{x(x+2)} = \frac{7}{x+2} $
4) $ \frac{9}{m(m+4)} - \frac{5m}{m(m+4)} = \frac{9-5m}{m(m+4)} $
5) $ \frac{b}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{b+a-b}{a^2-b^2} = \frac{a}{a^2-b^2} $
6) $ \frac{x+3}{(x+1)^2} - \frac{x+1}{(x+1)^2} = \frac{x+3-(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2} $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб виконати дію з дробами з різними знаменниками, їх спочатку потрібно звести до спільного знаменника. Для цього знаменники розкладають на множники, знаходять найменший спільний знаменник (НСЗ), визначають додаткові множники для кожного дробу і виконують дії.
1) $ \frac{2c-7}{2(c+5)} + \frac{4-c}{c+5} $
НСЗ: $2(c+5)$. Додатковий множник для другого дробу - 2.
2) $ \frac{a-1}{3a+6} - \frac{a}{4a+8} $
Розкладемо знаменники: $3(a+2)$ і $4(a+2)$. НСЗ: $12(a+2)$.
3) $ \frac{7}{x} - \frac{14}{x(x+2)} $
НСЗ: $x(x+2)$. Додатковий множник для першого дробу - $(x+2)$.
4) $ \frac{9}{m^2+4m} - \frac{5}{m+4} $
Розкладемо перший знаменник: $m(m+4)$. Це і є НСЗ.
5) $ \frac{b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a+b} $
Розкладемо перший знаменник: $(a-b)(a+b)$. Це і є НСЗ.
6) $ \frac{x+3}{x^2+2x+1} - \frac{1}{x+1} $
Розкладемо перший знаменник: $(x+1)^2$. Це і є НСЗ.
