Розв'язання вправи № 35 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу

$\frac{3x+2}{9x^2-6x+4} - \frac{18x}{27x^3+8} - \frac{1}{3x+2}$

дорівнює нулю.

Короткий розв'язок

$\frac{(3x+2)^2 - 18x - (9x^2-6x+4)}{(3x+2)(9x^2-6x+4)} = \frac{(9x^2+12x+4) - 18x - 9x^2+6x-4}{27x^3+8} = \frac{0}{27x^3+8} = 0$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести, що вираз дорівнює нулю, потрібно його спростити. Для цього ми знайдемо спільний знаменник, розклавши один зі знаменників за формулою суми кубів $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Потім зведемо дроби до спільного знаменника і виконаємо дії в чисельнику.

1. Розглянемо знаменники дробів: $9x^2-6x+4$ , $27x^3+8$ , $3x+2$ .

Застосуємо формулу суми кубів до знаменника другого дробу:

27x^3+8 = (3x)^3 + 2^3 = (3x+2)( (3x)^2 - 3x \cdot 2 + 2^2 ) = (3x+2)(9x^2-6x+4)

Бачимо, що знаменник другого дробу є добутком знаменників першого та третього дробів. Отже, він і буде нашим спільним знаменником.

2. Визначимо додаткові множники:

Для першого дробу $\frac{3x+2}{9x^2-6x+4}$ : додатковий множник $(3x+2)$ .
Для другого дробу $\frac{18x}{27x^3+8}$ : додатковий множник 1.
Для третього дробу $\frac{1}{3x+2}$ : додатковий множник $(9x^2-6x+4)$ .

3. Зведемо вираз до спільного знаменника:

\frac{(3x+2)(3x+2) - 18x \cdot 1 - 1(9x^2-6x+4)}{27x^3+8}

4. Виконаємо дії в чисельнику:

\frac{(3x+2)^2 - 18x - (9x^2-6x+4)}{27x^3+8} = \frac{(9x^2+12x+4) - 18x - 9x^2+6x-4}{27x^3+8}

5. Зведемо подібні доданки в чисельнику:

\frac{(9x^2-9x^2) + (12x-18x+6x) + (4-4)}{27x^3+8} = \frac{0x^2+0x+0}{27x^3+8} = \frac{0}{27x^3+8} = 0

Ми отримали 0. Отже, для всіх допустимих значень $x$ (тобто $x \neq -2/3$ ) значення виразу дорівнює нулю. Тотожність доведено.