Розв'язання вправи № 35 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу
$ \frac{3x+2}{9x^2-6x+4} - \frac{18x}{27x^3+8} - \frac{1}{3x+2} $
дорівнює нулю.
Короткий розв'язок
$ \frac{(3x+2)^2 - 18x - (9x^2-6x+4)}{(3x+2)(9x^2-6x+4)} = \frac{(9x^2+12x+4) - 18x - 9x^2+6x-4}{27x^3+8} = \frac{0}{27x^3+8} = 0 $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести, що вираз дорівнює нулю, потрібно його спростити. Для цього ми знайдемо спільний знаменник, розклавши один зі знаменників за формулою суми кубів $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Потім зведемо дроби до спільного знаменника і виконаємо дії в чисельнику.
1. Розглянемо знаменники дробів: $9x^2-6x+4$, $27x^3+8$, $3x+2$.
Застосуємо формулу суми кубів до знаменника другого дробу:
Бачимо, що знаменник другого дробу є добутком знаменників першого та третього дробів. Отже, він і буде нашим спільним знаменником.
2. Визначимо додаткові множники:
- Для першого дробу $ \frac{3x+2}{9x^2-6x+4} $: додатковий множник $ (3x+2) $.
- Для другого дробу $ \frac{18x}{27x^3+8} $: додатковий множник 1.
- Для третього дробу $ \frac{1}{3x+2} $: додатковий множник $ (9x^2-6x+4) $.
3. Зведемо вираз до спільного знаменника:
4. Виконаємо дії в чисельнику:
5. Зведемо подібні доданки в чисельнику:
Ми отримали 0. Отже, для всіх допустимих значень $x$ (тобто $x \neq -2/3$) значення виразу дорівнює нулю. Тотожність доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.