До змісту

Розв'язання вправи № 37 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Човен, власна швидкість якого vv км/год, подолав відстань ss км завдовжки і повернувся назад за tt год. Виразіть tt через ss і vv, якщо швидкість течії 3 км/год. Спростіть отриманий вираз і знайдіть його значення, якщо v=12,s=45v = 12, s = 45.

Короткий розв'язок

Вираз для часу: t=sv+3+sv−3=s(v−3)+s(v+3)(v−3)(v+3)=2svv2−9 t = \frac{s}{v+3} + \frac{s}{v-3} = \frac{s(v-3)+s(v+3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{2sv}{v^2-9} .

При v=12,s=45v=12, s=45: t=2⋅45⋅12122−9=1080144−9=1080135=8 t = \frac{2 \cdot 45 \cdot 12}{12^2 - 9} = \frac{1080}{144-9} = \frac{1080}{135} = 8 (год).

Відповідь: t=2svv2−9t = \frac{2sv}{v^2-9}; 8 год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для розв'язання задачі використаємо формулу часу t=S/vt = S/v. Загальний час руху tt складається з часу руху за течією та проти течії. Швидкість за течією дорівнює сумі власної швидкості та швидкості течії, а проти течії — їх різниці.

Етап 1. Складання виразу

1. Швидкість човна за течією: vза=v+3v_{за} = v + 3 (км/год).

2. Час руху за течією: tза=svза=sv+3t_{за} = \frac{s}{v_{за}} = \frac{s}{v+3} (год).

3. Швидкість човна проти течії: vпроти=v−3v_{проти} = v - 3 (км/год).

4. Час руху проти течії: tпроти=svпроти=sv−3t_{проти} = \frac{s}{v_{проти}} = \frac{s}{v-3} (год).

5. Загальний час руху tt — це сума часу руху туди і назад:

t=tза+tпроти=sv+3+sv−3 t = t_{за} + t_{проти} = \frac{s}{v+3} + \frac{s}{v-3}

Етап 2. Спрощення виразу

Зведемо дроби до спільного знаменника (v+3)(v−3)=v2−9(v+3)(v-3) = v^2-9.

t=s⋅(v−3)v+3+s⋅(v+3)v−3=s(v−3)+s(v+3)(v+3)(v−3) t = \frac{s^{\cdot(v-3)}}{v+3} + \frac{s^{\cdot(v+3)}}{v-3} = \frac{s(v-3) + s(v+3)}{(v+3)(v-3)}

Розкриємо дужки в чисельнику:

t=sv−3s+sv+3sv2−9=2svv2−9 t = \frac{sv - 3s + sv + 3s}{v^2-9} = \frac{2sv}{v^2-9}

Етап 3. Обчислення значення виразу

Підставимо у спрощений вираз t=2svv2−9t = \frac{2sv}{v^2-9} задані значення v=12v=12 та s=45s=45.

t=2⋅45⋅12122−9 t = \frac{2 \cdot 45 \cdot 12}{12^2 - 9}

Виконаємо обчислення:

t=90⋅12144−9=1080135 t = \frac{90 \cdot 12}{144 - 9} = \frac{1080}{135}

Розділимо чисельник на знаменник:

t=8 t = 8

Отже, човен витратив на весь шлях 8 годин.

Відповідь: t=2svv2−9t = \frac{2sv}{v^2-9}; 8 год.

Популярне у 8 класі