Розв'язання вправи № 30 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Подайте у вигляді дробу:

1) $ 2x - \frac{1}{x} $; 2) $ 4p - \frac{4p^2-1}{p} $; 3) $ \frac{2}{m} + \frac{3}{m-1} $;

4) $ \frac{m}{1-m} + \frac{1+m}{m} $; 5) $ \frac{c}{3c-1} + \frac{c}{3c+1} $; 6) $ \frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y} $.

Короткий розв'язок

1) $ \frac{2x \cdot x - 1}{x} = \frac{2x^2-1}{x} $

2) $ \frac{4p \cdot p - (4p^2-1)}{p} = \frac{4p^2-4p^2+1}{p} = \frac{1}{p} $

3) $ \frac{2(m-1)+3m}{m(m-1)} = \frac{2m-2+3m}{m(m-1)} = \frac{5m-2}{m(m-1)} $

4) $ \frac{m^2+(1-m)(1+m)}{m(1-m)} = \frac{m^2+1-m^2}{m(1-m)} = \frac{1}{m(1-m)} $

5) $ \frac{c(3c+1)+c(3c-1)}{(3c-1)(3c+1)} = \frac{3c^2+c+3c^2-c}{9c^2-1} = \frac{6c^2}{9c^2-1} $

6) $ \frac{x(x+y)-x(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy-x^2+xy}{x^2-y^2} = \frac{2xy}{x^2-y^2} $

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб подати вираз у вигляді дробу, необхідно звести всі його частини до спільного знаменника. Для цілих виразів знаменник дорівнює 1. Після знаходження спільного знаменника, виконуємо відповідні дії з чисельниками, помноженими на додаткові множники.

1) $ 2x - \frac{1}{x} $

Подамо $2x$ як дріб: $\frac{2x}{1}$. Спільний знаменник - $x$.

$$ \frac{2x^{\cdot x}}{1} - \frac{1}{x} = \frac{2x \cdot x - 1}{x} = \frac{2x^2-1}{x} $$

2) $ 4p - \frac{4p^2-1}{p} $

Спільний знаменник - $p$.

$$ \frac{4p^{\cdot p}}{1} - \frac{4p^2-1}{p} = \frac{4p \cdot p - (4p^2-1)}{p} = \frac{4p^2-4p^2+1}{p} = \frac{1}{p} $$

3) $ \frac{2}{m} + \frac{3}{m-1} $

Спільний знаменник: $m(m-1)$.

$$ \frac{2^{\cdot(m-1)}}{m} + \frac{3^{\cdot m}}{m-1} = \frac{2(m-1)+3m}{m(m-1)} = \frac{2m-2+3m}{m(m-1)} = \frac{5m-2}{m^2-m} $$

4) $ \frac{m}{1-m} + \frac{1+m}{m} $

Спільний знаменник: $m(1-m)$.

$$ \frac{m^{\cdot m}}{1-m} + \frac{(1+m)^{\cdot(1-m)}}{m} = \frac{m^2+(1+m)(1-m)}{m(1-m)} = \frac{m^2+1-m^2}{m-m^2} = \frac{1}{m-m^2} $$

5) $ \frac{c}{3c-1} + \frac{c}{3c+1} $

Спільний знаменник: $(3c-1)(3c+1) = 9c^2-1$.

$$ \frac{c^{\cdot(3c+1)}}{3c-1} + \frac{c^{\cdot(3c-1)}}{3c+1} = \frac{c(3c+1)+c(3c-1)}{9c^2-1} = \frac{3c^2+c+3c^2-c}{9c^2-1} = \frac{6c^2}{9c^2-1} $$

6) $ \frac{x}{x-y} - \frac{x}{x+y} $

Спільний знаменник: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$$ \frac{x^{\cdot(x+y)}}{x-y} - \frac{x^{\cdot(x-y)}}{x+y} = \frac{x(x+y)-x(x-y)}{x^2-y^2} = \frac{x^2+xy-(x^2-xy)}{x^2-y^2} = \frac{x^2+xy-x^2+xy}{x^2-y^2} = \frac{2xy}{x^2-y^2} $$