До змісту

Розв'язання вправи № 93 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що для будь-якого цілого значення kk справджується рівність:

1) 3⋅7k+4⋅7k=7k+1 3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^{k+1} ;

2) 5⋅4k−4k=4k+1 5 \cdot 4^k - 4^k = 4^{k+1} .

Короткий розв'язок

1) 3⋅7k+4⋅7k=7k(3+4)=7k⋅7=7k+1 3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^k(3+4) = 7^k \cdot 7 = 7^{k+1} .

2) 5⋅4k−4k=4k(5−1)=4k⋅4=4k+1 5 \cdot 4^k - 4^k = 4^k(5-1) = 4^k \cdot 4 = 4^{k+1} .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення рівностей перетворимо їхні ліві частини, винісши за дужки спільний множник (степінь). Потім використаємо властивість множення степенів з однаковою основою am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}.

1) Доведемо рівність 3⋅7k+4⋅7k=7k+1 3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^{k+1}

Розглянемо ліву частину рівності. Бачимо, що обидва доданки мають спільний множник 7k7^k. Винесемо його за дужки:

3⋅7k+4⋅7k=7k(3+4) 3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^k(3+4)

Виконаємо дію в дужках:

7k⋅7 7^k \cdot 7

Враховуючи, що 7=717 = 7^1, застосуємо властивість множення степенів:

7k⋅71=7k+1 7^k \cdot 7^1 = 7^{k+1}

Ліва частина дорівнює правій, отже, рівність доведено.

2) Доведемо рівність 5⋅4k−4k=4k+1 5 \cdot 4^k - 4^k = 4^{k+1}

Розглянемо ліву частину. Спільним множником є 4k4^k. Винесемо його за дужки, враховуючи, що 4k=1⋅4k4^k = 1 \cdot 4^k:

5⋅4k−1⋅4k=4k(5−1) 5 \cdot 4^k - 1 \cdot 4^k = 4^k(5-1)

Виконаємо віднімання в дужках:

4k⋅4 4^k \cdot 4

Застосуємо властивість множення степенів, пам'ятаючи, що 4=414 = 4^1:

4k⋅41=4k+1 4^k \cdot 4^1 = 4^{k+1}

Ми отримали вираз, що дорівнює правій частині. Рівність доведено.

Популярне у 8 класі