Розв'язання вправи № 93 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що для будь-якого цілого значення $k$ справджується рівність:

1) $3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^{k+1}$ ;

2) $5 \cdot 4^k - 4^k = 4^{k+1}$ .

Короткий розв'язок

1) $3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^k(3+4) = 7^k \cdot 7 = 7^{k+1}$ .

2) $5 \cdot 4^k - 4^k = 4^k(5-1) = 4^k \cdot 4 = 4^{k+1}$ .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення рівностей перетворимо їхні ліві частини, винісши за дужки спільний множник (степінь). Потім використаємо властивість множення степенів з однаковою основою $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

1) Доведемо рівність $3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^{k+1}$

Розглянемо ліву частину рівності. Бачимо, що обидва доданки мають спільний множник $7^k$ . Винесемо його за дужки:

3 \cdot 7^k + 4 \cdot 7^k = 7^k(3+4)

Виконаємо дію в дужках:

7^k \cdot 7

Враховуючи, що $7 = 7^1$ , застосуємо властивість множення степенів:

7^k \cdot 7^1 = 7^{k+1}

Ліва частина дорівнює правій, отже, рівність доведено.

2) Доведемо рівність $5 \cdot 4^k - 4^k = 4^{k+1}$

Розглянемо ліву частину. Спільним множником є $4^k$ . Винесемо його за дужки, враховуючи, що $4^k = 1 \cdot 4^k$ :

5 \cdot 4^k - 1 \cdot 4^k = 4^k(5-1)

Виконаємо віднімання в дужках:

4^k \cdot 4

Застосуємо властивість множення степенів, пам'ятаючи, що $4 = 4^1$ :

4^k \cdot 4^1 = 4^{k+1}

Ми отримали вираз, що дорівнює правій частині. Рівність доведено.