Розв'язання вправи № 90 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) $ (-3p^{-3}ca^{-2})^{-2} \cdot (0,1pc^{-2}a)^2 $;

2) $ \left(\frac{1}{4}a^{-4}b^{-2}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^{-3}}{4b}\right)^{-3} $.

Короткий розв'язок

1) $ \frac{1}{9}p^6c^{-2}a^4 \cdot 0,01p^2c^{-4}a^2 = \frac{0,01}{9}a^{4+2}p^{6+2}c^{-2-4} = \frac{1}{900}a^6p^8c^{-6} $.

2) $ \frac{1}{16}a^{-8}b^{-4} \cdot \frac{a^9}{4^{-3}b^{-3}} = \frac{1}{16}a^{-8}b^{-4} \cdot 64a^9b^3 = 4ab^{-1} $.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення виразів використовуємо властивості степеня, зокрема піднесення добутку і дробу до степеня $(xy)^n=x^ny^n$, $(\frac{x}{y})^n=\frac{x^n}{y^n}$ та піднесення степеня до степеня $(x^m)^n=x^{mn}$.

1) $ (-3p^{-3}ca^{-2})^{-2} \cdot (0,1pc^{-2}a)^2 $

Піднесемо до степеня кожен множник в обох дужках:

$$ (-3)^{-2} \cdot (p^{-3})^{-2} \cdot c^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} \cdot (0,1)^2 \cdot p^2 \cdot (c^{-2})^2 \cdot a^2 $$

Виконаємо піднесення степеня до степеня:

$$ \frac{1}{(-3)^2} \cdot p^6 \cdot c^{-2} \cdot a^4 \cdot 0,01 \cdot p^2 \cdot c^{-4} \cdot a^2 $$

$$ \frac{1}{9}p^6c^{-2}a^4 \cdot 0,01p^2c^{-4}a^2 $$

Згрупуємо числові коефіцієнти та степені з однаковими основами:

$$ \left(\frac{1}{9} \cdot 0,01\right) \cdot (a^4 \cdot a^2) \cdot (p^6 \cdot p^2) \cdot (c^{-2} \cdot c^{-4}) $$

Перемножимо їх, додаючи показники степенів:

$$ \frac{0,01}{9} \cdot a^{4+2} \cdot p^{6+2} \cdot c^{-2-4} = \frac{1/100}{9} a^6 p^8 c^{-6} = \frac{1}{900}a^6p^8c^{-6} $$

2) $ \left(\frac{1}{4}a^{-4}b^{-2}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^{-3}}{4b}\right)^{-3} $

Піднесемо до степеня перший множник: