До змісту

Розв'язання вправи № 90 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) (−3p−3ca−2)−2⋅(0,1pc−2a)2 (-3p^{-3}ca^{-2})^{-2} \cdot (0,1pc^{-2}a)^2 ;

2) (14a−4b−2)2⋅(a−34b)−3 \left(\frac{1}{4}a^{-4}b^{-2}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^{-3}}{4b}\right)^{-3} .

Короткий розв'язок

1) 19p6c−2a4⋅0,01p2c−4a2=0,019a4+2p6+2c−2−4=1900a6p8c−6 \frac{1}{9}p^6c^{-2}a^4 \cdot 0,01p^2c^{-4}a^2 = \frac{0,01}{9}a^{4+2}p^{6+2}c^{-2-4} = \frac{1}{900}a^6p^8c^{-6} .

2) 116a−8b−4⋅a94−3b−3=116a−8b−4⋅64a9b3=4ab−1 \frac{1}{16}a^{-8}b^{-4} \cdot \frac{a^9}{4^{-3}b^{-3}} = \frac{1}{16}a^{-8}b^{-4} \cdot 64a^9b^3 = 4ab^{-1} .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення виразів використовуємо властивості степеня, зокрема піднесення добутку і дробу до степеня (xy)n=xnyn(xy)^n=x^ny^n, (xy)n=xnyn(\frac{x}{y})^n=\frac{x^n}{y^n} та піднесення степеня до степеня (xm)n=xmn(x^m)^n=x^{mn}.

1) (−3p−3ca−2)−2⋅(0,1pc−2a)2 (-3p^{-3}ca^{-2})^{-2} \cdot (0,1pc^{-2}a)^2

Піднесемо до степеня кожен множник в обох дужках:

(−3)−2⋅(p−3)−2⋅c−2⋅(a−2)−2⋅(0,1)2⋅p2⋅(c−2)2⋅a2 (-3)^{-2} \cdot (p^{-3})^{-2} \cdot c^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} \cdot (0,1)^2 \cdot p^2 \cdot (c^{-2})^2 \cdot a^2

Виконаємо піднесення степеня до степеня:

1(−3)2⋅p6⋅c−2⋅a4⋅0,01⋅p2⋅c−4⋅a2 \frac{1}{(-3)^2} \cdot p^6 \cdot c^{-2} \cdot a^4 \cdot 0,01 \cdot p^2 \cdot c^{-4} \cdot a^2
19p6c−2a4⋅0,01p2c−4a2 \frac{1}{9}p^6c^{-2}a^4 \cdot 0,01p^2c^{-4}a^2

Згрупуємо числові коефіцієнти та степені з однаковими основами:

(19⋅0,01)⋅(a4⋅a2)⋅(p6⋅p2)⋅(c−2⋅c−4) \left(\frac{1}{9} \cdot 0,01\right) \cdot (a^4 \cdot a^2) \cdot (p^6 \cdot p^2) \cdot (c^{-2} \cdot c^{-4})

Перемножимо їх, додаючи показники степенів:

0,019⋅a4+2⋅p6+2⋅c−2−4=1/1009a6p8c−6=1900a6p8c−6 \frac{0,01}{9} \cdot a^{4+2} \cdot p^{6+2} \cdot c^{-2-4} = \frac{1/100}{9} a^6 p^8 c^{-6} = \frac{1}{900}a^6p^8c^{-6}

2) (14a−4b−2)2⋅(a−34b)−3 \left(\frac{1}{4}a^{-4}b^{-2}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^{-3}}{4b}\right)^{-3}

Піднесемо до степеня перший множник:

(14)2⋅(a−4)2⋅(b−2)2=116a−8b−4 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot (a^{-4})^2 \cdot (b^{-2})^2 = \frac{1}{16}a^{-8}b^{-4}

Піднесемо до степеня другий множник (дріб):

(a−3)−3(4b)−3=a94−3b−3 \frac{(a^{-3})^{-3}}{(4b)^{-3}} = \frac{a^9}{4^{-3}b^{-3}}

Оскільки 4−3=143=1644^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}, то вираз можна переписати як:

a9164b−3=64a9b3 \frac{a^9}{\frac{1}{64}b^{-3}} = 64a^9b^3

Тепер перемножимо отримані спрощені вирази:

(116a−8b−4)⋅(64a9b3) \left(\frac{1}{16}a^{-8}b^{-4}\right) \cdot (64a^9b^3)

Згрупуємо коефіцієнти та степені:

(116⋅64)⋅(a−8a9)⋅(b−4b3) \left(\frac{1}{16} \cdot 64\right) \cdot (a^{-8}a^9) \cdot (b^{-4}b^3)

Обчислимо добутки:

6416⋅a−8+9⋅b−4+3=4a1b−1=4ab−1 \frac{64}{16} \cdot a^{-8+9} \cdot b^{-4+3} = 4a^1b^{-1} = 4ab^{-1}