Розв'язання вправи № 91 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Доведіть тотожність:

$$ (a^{-2} - a^{-1} + 1) : (a^{-2} + a) = \frac{1}{a+1} $$

Короткий розв'язок

$ \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{a} + 1\right) : \left(\frac{1}{a^2} + a\right) = \frac{1-a+a^2}{a^2} : \frac{1+a^3}{a^2} $

$ = \frac{1-a+a^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{1+a^3} = \frac{1-a+a^2}{(1+a)(1-a+a^2)} = \frac{1}{a+1} $.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності потрібно виконати тотожні перетворення однієї з її частин (зазвичай більш складної) і звести її до вигляду іншої частини. Ми будемо перетворювати ліву частину.

Перетворимо ліву частину тотожності. Для цього спочатку замінимо степені з від'ємними показниками на дроби, використовуючи означення $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.

$$ (a^{-2} - a^{-1} + 1) : (a^{-2} + a) = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{a} + 1\right) : \left(\frac{1}{a^2} + a\right) $$

Тепер виконаємо дії в кожній з дужок, звівши вирази до спільного знаменника.

Дія в перших дужках:

$$ \frac{1}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a \cdot a} + \frac{1 \cdot a^2}{a^2} = \frac{1 - a + a^2}{a^2} $$

Дія в других дужках:

$$ \frac{1}{a^2} + \frac{a \cdot a^2}{a^2} = \frac{1 + a^3}{a^2} $$

Підставимо отримані дроби у вихідний вираз:

$$ \frac{1 - a + a^2}{a^2} : \frac{1 + a^3}{a^2} $$

Замінимо ділення на множення на обернений дріб:

$$ \frac{1 - a + a^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{1 + a^3} $$

Скоротимо $a^2$ в чисельнику і знаменнику:

$$ \frac{1 - a + a^2}{1 + a^3} $$