Розв'язання вправи № 91 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Доведіть тотожність:

(a^{-2} - a^{-1} + 1) : (a^{-2} + a) = \frac{1}{a+1}

Короткий розв'язок

$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{a} + 1\right) : \left(\frac{1}{a^2} + a\right) = \frac{1-a+a^2}{a^2} : \frac{1+a^3}{a^2}$

$= \frac{1-a+a^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{1+a^3} = \frac{1-a+a^2}{(1+a)(1-a+a^2)} = \frac{1}{a+1}$ .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності потрібно виконати тотожні перетворення однієї з її частин (зазвичай більш складної) і звести її до вигляду іншої частини. Ми будемо перетворювати ліву частину.

Перетворимо ліву частину тотожності. Для цього спочатку замінимо степені з від'ємними показниками на дроби, використовуючи означення $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .

(a^{-2} - a^{-1} + 1) : (a^{-2} + a) = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{a} + 1\right) : \left(\frac{1}{a^2} + a\right)

Тепер виконаємо дії в кожній з дужок, звівши вирази до спільного знаменника.

Дія в перших дужках:

\frac{1}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a \cdot a} + \frac{1 \cdot a^2}{a^2} = \frac{1 - a + a^2}{a^2}

Дія в других дужках:

\frac{1}{a^2} + \frac{a \cdot a^2}{a^2} = \frac{1 + a^3}{a^2}

Підставимо отримані дроби у вихідний вираз:

\frac{1 - a + a^2}{a^2} : \frac{1 + a^3}{a^2}

Замінимо ділення на множення на обернений дріб:

\frac{1 - a + a^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{1 + a^3}

Скоротимо $a^2$ в чисельнику і знаменнику:

\frac{1 - a + a^2}{1 + a^3}

Застосуємо формулу суми кубів $1+a^3 = (1+a)(1-a+a^2)$ до знаменника:

\frac{1 - a + a^2}{(1+a)(1-a+a^2)}

Скоротимо спільний множник $(1-a+a^2)$ :

\frac{1}{1+a}

Ми отримали вираз, що дорівнює правій частині тотожності. Отже, тотожність доведено.