ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1305

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Умова вправи № 1305

З’ясуйте кількість розв’язків системи рівнянь $\begin{cases} 2x + y = 3, \\ 4x + ay = 6 \end{cases}$ залежно від коефіцієнта $a$.

Розв'язок вправи № 1305

Коротке рішення

$\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + ay = 6 \end{cases}$

Аналізуємо відношення коефіцієнтів: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = 0,5;$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{6} = 0,5.$

1) Якщо $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \implies 0,5 = \frac{1}{a} = 0,5 \implies a = 2.$

2) Якщо $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \implies 0,5 \neq \frac{1}{a} \implies a \neq 2.$

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Кількість розв'язків лінійної системи залежить від пропорційності коефіцієнтів рівнянь. Ці правила детально розібрані в темі графічний метод та кількість розв'язків системи.

Для розв’язання цієї задачі ми порівнюємо відношення відповідних коефіцієнтів системи. Ми помітили, що відношення коефіцієнтів при $x$ дорівнює 0,5 ($\frac{2}{4}$), і відношення вільних членів також дорівнює 0,5 ($\frac{3}{6}$). Це означає, що доля системи цілком залежить від того, яким буде відношення коефіцієнтів при $y.$ Якщо ми підставимо замість $a$ число 2, то отримаємо рівність усіх трьох часток: $0,5 = \frac{1}{2} = 0,5.$ У такому разі прямі, що є графіками рівнянь, повністю збігаються, а система має нескінченно багато розв'язків. Якщо ж $a$ буде будь-яким іншим числом, окрім двійки, то відношення коефіцієнтів при змінних не будуть рівними. У цьому випадку прямі обов'язково перетнуться в одній точці, що гарантує системі єдиний унікальний розв'язок. Випадку «немає розв’язків» тут бути не може, оскільки перша та остання частки вже рівні між собою.