ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1302

1) $|x - y| + (x + 2y - 1)^2 = 0.$

Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю, якщо кожен з них дорівнює нулю:

$\begin{cases} x - y = 0, \\ x + 2y - 1 = 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x = y, \\ y + 2y = 1; \end{cases} \implies \begin{cases} 3y = 1, \\ x = y; \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{1}{3}, \\ x = \frac{1}{3}. \end{cases}$

Відповідь: $(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}).$

---

2) $|x + y - 6| + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0.$

Помітимо, що $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2.$

Рівняння набуває вигляду:

$|x + y - 6| + (x - 2y)^2 = 0.$

$\begin{cases} x + y - 6 = 0, \\ x - 2y = 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2y, \\ 2y + y = 6; \end{cases} \implies \begin{cases} 3y = 6, \\ x = 2y; \end{cases} \implies \begin{cases} y = 2, \\ x = 4. \end{cases}$

Відповідь: $(4; 2).$

У цих рівняннях ми бачимо модулі та квадрати. Оскільки за своєю природою ці вирази ніколи не бувають від’ємними, їхня сума може стати нулем тільки в одному-єдиному випадку: коли кожен доданок "зникне" сам по собі. Це дозволяє нам перетворити одне рівняння з двома невідомими на систему з двох простіших рівнянь. У першому прикладі ми прирівняли до нуля вміст модуля та дужок. Розв'язавши систему методом підстановки, ми знайшли, що обидві змінні дорівнюють одній третій. У другому прикладі ми спочатку помітили, що тричлен є розгорнутою формулою квадрата різниці, і згорнули його. Після цього ми діяли за тією ж схемою і виявили цілочисельний розв'язок (4; 2).