ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1315

$\begin{cases} 12x - 9y = 15 \\ 4x + by = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x - 3y = 5 \\ 4x + by = 5 \end{cases}$

1) Безліч розв'язків: рівняння мають бути ідентичними.

Коефіцієнти при $x$ та вільні члени вже рівні ($4=4$ та $5=5$), отже: $b = -3.$

Відповідь: $b = -3.$

---

2) Єдиний розв'язок: якщо $b \neq -3.$

Віднімемо перше рівняння від другого: $(4x + by) - (4x - 3y) = 5 - 5 \implies y(b + 3) = 0.$

Оскільки $b \neq -3,$ то $y = 0.$

$4x + b \cdot 0 = 5 \implies 4x = 5 \implies x = \frac{5}{4} = 1,25.$

Відповідь: при $b \neq -3$ розв'язок (1,25; 0).

Ми почали з того, що поділили перше рівняння на 3. Це дозволило побачити, що "ліва частина" першого рівняння майже ідентична другому: $4x - 3y = 5$ та $4x + by = 5.$ Для того, щоб система мала безліч розв'язків, прямі повинні збігатися, тобто всі числа в рівняннях мають бути однаковими. Це відбувається при $b = -3.$ Якщо ж $b$ набуває будь-якого іншого значення, прямі обов'язково перетнуться. Цікаво, що при відніманні цих рівнянь ми отримали вираз $y(b + 3) = 0.$ Оскільки в другому випадку $b + 3$ не дорівнює нулю, то єдиним можливим варіантом для рівності є $y = 0.$ Підставивши цей нуль у систему, ми знайшли незмінну координату $x = 1,25.$ Отже, незалежно від значення $b$ (крім -3), графіки всіх таких систем будуть проходити через одну і ту саму точку на осі абсцис.